แรงที่ใช้กับวัตถุที่เคลื่อนที่ในแนวนอนบนเส้นทางเส้นตรงอธิบายโดย F (x) = x ^ 2-3x + 3 พลังงานจลน์ของวัตถุเปลี่ยนไปเมื่อวัตถุเคลื่อนที่จาก x ใน [0, 1] เท่าใด

ตอบ:

กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน:

# F = m * a #

คำจำกัดความของการเร่งความเร็วและความเร็ว:

# A = (du) / dt #

# U = (DX) / dt #

พลังงานจลน์:

# K = m * U ^ 2/2 #

คำตอบคือ:

# ΔK = 6/11 # # กก. * ^ 2 เมตร / วินาที ^ 2 #

คำอธิบาย:

กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตัน:

# F = m * a #

# x ^ 2-3x + 3 = m * a #

แทน # A = (du) / dt # ไม่ช่วยสมการตั้งแต่ # F # ไม่ได้รับเป็นฟังก์ชันของ # เสื้อ # แต่เป็นหน้าที่ของ # x # อย่างไรก็ตาม:

# A = (du) / dt = (du) / dt * (DX) / DX = (DX) / dt * (du) / DX #

แต่ # (DX) / dt = U # ดังนั้น:

# A = (DX) / dt * (du) / DX u = * (du) / DX #

แทนสมการที่เรามีเรามีสมการเชิงอนุพันธ์:

# x ^ 2-3x + 3 = m * U (du) / DX #

# (x ^ 2-3x + 3) DX = m * Udu #

#int_ (x_1) ^ (x_2) (x ^ 2-3x + 3) DX = int_ (u_1) ^ (u_2) ม. * Udu #

ความเร็วทั้งสองนั้นไม่เป็นที่รู้จัก แต่เป็นตำแหน่ง # x # เป็นที่รู้จัก. นอกจากนี้มวลคงที่:

#int_ (0) ^ (1) (x ^ 2-3x + 3) DX = m * int_ (u_1) ^ (u_2) Udu #

# x ^ 3 / 3-3x ^ 2/2 + 3x _0 ^ 1 = m * มึง ^ 2/2 _ (u_1) ^ (u_2) #

# (1 ^ 3 / 3-3 * 1 ^ 2/2 + 3 * 1) - (0 ^ 3 / 3-3 * 0 ^ 2/2 + 3 * 0) = m * (u_2 ^ 2 / 2- u_1 ^ 2/2) #

# 6/11 = m * u_2 ^ 2/2-M * u_2 ^ 2/2 #

แต่ # K = m * U ^ 2/2 #

# 6/11 = K_2-K_1 #

# ΔK = 6/11 # # กก. * ^ 2 เมตร / วินาที ^ 2 #

บันทึก: หน่วยเป็น # กก. * ^ 2 เมตร / วินาที ^ 2 # เฉพาะในกรณีที่ระยะทางที่กำหนด # (x ใน 0,1) # อยู่ในหน่วยเมตร