คุณจะหาขีด จำกัด ของ sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6) อย่างไรเมื่อ x เข้าใกล้ -oo?

คุณจะหาขีด จำกัด ของ sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6) อย่างไรเมื่อ x เข้าใกล้ -oo?
Anonim

ตอบ:

ทำแฟเล็กน้อยเพื่อให้ได้ #lim_ (x -> - อู) = - 2/1 #.

คำอธิบาย:

เมื่อเราจัดการกับขีด จำกัด ที่ไม่มีที่สิ้นสุดจะเป็นประโยชน์เสมอที่จะแยกแยะ # x #หรือ # x ^ 2 #หรือพลังอะไรก็ตามของ # x # ลดความยุ่งยากของปัญหา สำหรับอันนี้ลองแยกตัวประกอบ # x ^ 2 # จากตัวเศษและ # x # จากตัวส่วน:

#lim_ (x -> - อู) (sqrt (x ^ 2-9)) / (2x-6) = (sqrt ((x ^ 2) (1-9 / (x ^ 2)))) / (x (2-6 / x)) #

# = (sqrt (x ^ 2) sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

นี่คือจุดเริ่มต้นที่น่าสนใจ สำหรับ # x> 0 #, #sqrt (x ^ 2) # เป็นบวก อย่างไรก็ตามสำหรับ # x <0 #, #sqrt (x ^ 2) # เป็นลบ ในแง่คณิตศาสตร์:

#sqrt (x ^ 2) = เอบีเอส (x) # สำหรับ # x> 0 #

#sqrt (x ^ 2) = - x # สำหรับ # x <0 #

เนื่องจากเรากำลังเผชิญกับขีด จำกัด ที่อนันต์เชิงลบ #sqrt (x ^ 2) # กลายเป็น # # -x:

# = (- xsqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (x (2-6 / x)) #

# = (- sqrt (1-9 / (x ^ 2))) / (2-6 / x) #

ตอนนี้เราสามารถเห็นความงามของวิธีนี้: เรามี # 9 / x ^ 2 # และ # 6 / x #ซึ่งทั้งคู่จะไปที่ #0# เช่น # x # ไปที่อนันต์ลบ:

#lim_ (x -> - อู) = (- sqrt (1-0)) / (2-0) #

#lim_ (x -> - อู) = - 2/1 #