คุณจะพบการประมาณเชิงเส้นถึงราก (4) (84) ได้อย่างไร

ตอบ:

#root (4) (84) ~~ 3.03 #

คำอธิบาย:

สังเกตได้ว่า #3^4 = 81#ซึ่งอยู่ใกล้กับ #84#.

ดังนั้น #root (4) (84) # มีขนาดใหญ่กว่าเล็กน้อย #3#.

เพื่อให้การประมาณดีขึ้นเราสามารถใช้การประมาณเชิงเส้นซึ่งเป็นวิธีการของ a.k.a. นิวตัน

กำหนด:

#f (x) = x ^ 4-84 #

แล้ว:

#f '(x) = 4x ^ 3 #

และได้รับประมาณศูนย์ # x = a # ของ # f (x) #การประมาณที่ดีกว่าคือ:

#a - (f (a)) / (f '(a)) #

ดังนั้นในกรณีของเรา A = # 3 #การประมาณที่ดีกว่าคือ:

# 3- (f (3)) / (f '(3)) = 3- (3 ^ 4-84) / (4 (3) ^ 3) = 3- (81-84) / (4 * 27) = 3 + 1/36 = 109/36 = 3.02bar (7) #

นี่เกือบจะแม่นยำ #4# ตัวเลขนัยสำคัญ แต่เราจะอ้างการประมาณว่า #3.03#

ตอบ:

#root (4) (84) ~~ 3.02778 #

คำอธิบาย:

โปรดทราบว่าการประมาณเชิงเส้นใกล้กับจุด # A # สามารถรับได้โดย:

#f (x) ~~ f (a) + f '(a) (x-a) #

หากได้รับ: #f (x) = root (4) (x) #

จากนั้นเป็นตัวเลือกที่เหมาะสมสำหรับ # A # อยากจะเป็น A = # 81 # เพราะเรารู้ #root (4) 81 = 3 # อย่างแน่นอนและมันอยู่ใกล้กับ #84#.

ดังนั้น:

#f (a) = f (81) = root (4) (81) = 3 #

นอกจากนี้ยัง;

#f (x) = x ^ (1/4) # ดังนั้น #f '(x) = 1 / 4x ^ (- 3/4) = 1 / (4root (4) (x) ^ 3) #

#f '(81) = 1 / (4root (4) (81) ^ 3) = 1 / (4 * 3 ^ 3) = 1/108 #

ดังนั้นเราสามารถประมาณได้ (ใกล้ #81#):

# f (x) ~~ f (ก) + F '(ก) (x-A) #

#implies root (4) (x) ~~ 3 + 1 / (108) (x-81) #

ดังนั้น:

#root (4) (84) = 3 + 1/108 (84-81) #

#3+1/108*3=324/3+3/108=327/108~~3.02778#

ค่าที่แม่นยำยิ่งขึ้นคือ #3.02740#

ดังนั้นการประมาณเชิงเส้นจึงค่อนข้างใกล้

ตอบ:

#root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #

คำอธิบาย:

เราสามารถพูดได้ว่าเรามีฟังก์ชั่นของ #f (x) = root (4) (x) #

และ # root (4) (84) = f (84) #

ทีนี้มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันเรา

เราใช้กฎพลังงานซึ่งระบุว่าหาก # f (x) = x ^ n #จากนั้น # f '(x) = NX ^ (n-1) # ที่ไหน # n # เป็นค่าคงที่

# f (x) = x ^ (1/4) #

=># f (x) = 1/4 * x ^ (1 / 4-1) #

=># f '(x) = (x ^ (- 3/4)) / 4 #

=># f (x) = 1 / x ^ (3/4) * 1/4 #

=># f (x) = 1 / (4x ^ (3/4)) #

ตอนนี้เพื่อประมาณ # root (4) (84) #เราพยายามค้นหาพลังที่สมบูรณ์แบบที่ใกล้เคียงที่สุดถึง 84

มาดูกัน…

#1#

#16#

#81#

#256#

เรามาดูกันว่า #81# เป็นหนึ่งที่ใกล้เคียงที่สุดของเรา

ตอนนี้เราพบเส้นสัมผัสของฟังก์ชันเมื่อเรา # x = 81 #

=># f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (3/4)) #

=># f '(81) = 1 / (4 * 81 ^ (2/4) * ^ 81 (1/4)) #

=># f '(81) = 1 / (4 * 9 * 3) #

=># f '(81) = 1/108 #

นี่คือความชันที่เรากำลังมองหา

ลองเขียนสมการของเส้นสัมผัสในรูป # การ y = mx + B #

แล้วอะไรล่ะ # Y # เท่ากับเมื่อ # x = 81 #?

มาดูกัน…

# f (81) = ราก (4) (81) #

=># f (81) = 3 #

ดังนั้นตอนนี้เรามี:

# 3 = M81 + B # เรารู้ว่าความชัน # ม #, คือ #1/108#

=># 3 = 1/108 * 81 + B # ตอนนี้เราสามารถแก้ปัญหาได้ # B #.

=># 3 = 81/108 + B #

=># 3 = 4/3 + B #

=># 2 1/4 = b #

ดังนั้นสมการของเส้นสัมผัสคือ # y = 1 / 108x + 2 1/4 #

ตอนนี้เราใช้ 84 แทน # x #.

=># y = 1/108 * 84 + 2 1/4 #

=># y = 1/9 * 7 + 2 1/4 #

=># การ y = 9/7 + 4/9 #

=># การ y = 28/36 + 81/36 #

=># การ y = 109/36 #

=># การ y = 3.02bar7 #

ดังนั้น, #root 4 (84) ~~ 3.02bar7 #