คุณจะหาฟังก์ชั่นสมการกำลังสอง f (x) = ax² + bx + c ได้รับค่าต่ำสุด -4 เมื่อ x = 3; หนึ่งศูนย์คือ 6?

ตอบ:

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

คำอธิบาย:

ฟังก์ชันสมการกำลังสองมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดยอดของพวกเขาคือที่ x = 3 ดังนั้นนี่ก็หมายความว่าศูนย์อื่น ๆ จะอยู่ที่ x = 0

เรารู้ว่าจุดยอดเกิดขึ้นที่ x = 3 ดังนั้นอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชันที่ประเมินที่ x = 3 จะเป็นศูนย์

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

เรารู้ค่าของฟังก์ชันเองที่ x = 3

#f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

เรามีสองสมการ แต่ไม่ทราบสามอันดังนั้นเราต้องได้สมการอีกอัน ดูศูนย์ที่รู้จัก:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

เรามีระบบสมการแล้ว:

# ((6, 1, 0), (9,3,1), (36,6,1)) ((a), (b), (c)) = ((0), (- 4), (0)) #

หากต้องการอ่านโซลูชันที่เราต้องการลดเมทริกซ์สัมประสิทธิ์ของเราเป็นรูปแบบ echelon ที่ลดลงโดยใช้การดำเนินการแถวประถม

คูณแถวแรกด้วย #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

เพิ่ม #-9# คูณแถวแรกถึงแถวที่สอง:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

เพิ่ม #-36# คูณแถวแรกเป็นแถวที่สาม:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

คูณแถวที่สองด้วย #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

เพิ่ม #-2/3# คูณแถวที่สามถึงแถวที่สอง:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

เพิ่ม #-1/6# คูณวินาทีเป็นวินาทีแรก

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

การดำเนินการชุดนี้กับเวกเตอร์โซลูชันให้:

#((4/9),(-8/3),(0))#

ดังนั้นอ่านคำตอบที่เรามี # a = 4/9 และ b = -8 / 3 #

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

กราฟ {4/9 x ^ 2 - 8/3 x -7.205, 12.795, -5.2, 4.8}