ซีรี่ส์อนุกรมของ f (x) = arctan (x) คืออะไร?

# f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #

ให้เราดูรายละเอียดบางอย่าง

# f (x) = arctanx #

# f (x) = 1 / {1 + x ^ 2} = 1 / {1 - (- x ^ 2)} #

โปรดจำไว้ว่าพลังทรงเรขาคณิต

# 1 / {1-x} = sum_ {n = 0} ^ infty x ^ n #

โดยการแทนที่ # x # โดย # -x ^ 2 #, #Rightarrow 1 / {1 - (- - x ^ 2)} = sum_ {n = 0} ^ infty (-x ^ 2) ^ n = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} #

ดังนั้น, # f '(x) = sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ ^ NX {2n} #

โดยการบูรณาการ

#f (x) = int sum_ {n = 0} ^ infty (-1) ^ nx ^ {2n} dx #

โดยใส่สัญลักษณ์สำคัญในการรวม

# = sum_ {n = 0} ^ infty int (-1) ^ n x ^ {2n} dx #

โดย Power Rule

# = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} + C #

ตั้งแต่ # f (0) = arctan (0) = 0 #, #f (0) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {(0) ^ {2n + 1}}} / {2n + 1} + C = C Rightarrow C = 0 #

ดังนั้น

# f (x) = sum_ {n = 1} ^ infty (-1) ^ n {x ^ {2n + 1}} / {2n + 1} #