อินเวอร์สของ f (x) = -ln (arctan (x)) คืออะไร?

ตอบ:

# f ^ -1 (x) = tan (e ^ -x) #

คำอธิบาย:

วิธีทั่วไปในการค้นหาฟังก์ชันผกผันคือตั้งค่า #y = f (x) # แล้วแก้หา # x # ที่จะได้รับ #x = f ^ -1 (y) #

ใช้ที่นี่เราเริ่มต้นด้วย

#y = -ln (arctan (x)) #

# => -y = ln (arctan (x)) #

# => e ^ -y = e ^ (ln (arctan (x))) = arctan (x) # (ตามคำจำกัดความของ # LN #)

# => tan (e ^ -y) = tan (arctan (x)) = x # (ตามคำจำกัดความของ # arctan #)

ดังนั้นเราจึงมี # f ^ -1 (x) = tan (e ^ -x) #

หากเราต้องการยืนยันสิ่งนี้ผ่านคำจำกัดความ # f ^ -1 (f (x)) = f (f ^ -1 (x)) = x #

จำไว้ #y = f (x) # ดังนั้นเราจึงมี

# f ^ -1 (y) = f ^ -1 (f (x)) = x #

สำหรับทิศทางกลับด้าน

#f (f ^ -1 (x)) = -ln (arctan (tan (e ^ -x)) #

# => f (f ^ -1 (x)) = -ln (e ^ -x) #

# => f (f ^ -1 (x)) = - (- x * ln (e)) = - (- x * 1) #

# => f (f ^ -1 (x)) = x #