อะไรที่ยิ่งใหญ่กว่า: 1,000 ^ (1,000) หรือ 1001 ^ (999)

ตอบ:

#1000^1000 > 1001^999#

คำอธิบาย:

พิจารณาจากสมการ

# 1000 ^ 1000 = 1001 x ^ #

ถ้า #x> 999 #

แล้วก็

#1000^1000 > 1001^999#

อื่น

#1000^1000 < 1001^999#

ใช้การแปลงบันทึกทั้งสองด้าน

# 1,000 บันทึก 1000 = x บันทึก 1001 #

แต่

#log 1001 = log1000 + 1 / 1000xx1-1 / (2!) 1/1000 ^ 2xx1 ^ 2 + 2 / (3!) 1/1000 ^ 3xx1 ^ 3 + cdots + 1 / (n!) (d / (dx) บันทึก x) _ (x = 1,000) 1 ^ n #.

ชุดนี้เป็นทางเลือกและมาบรรจบกันอย่างรวดเร็ว

# log1001 ประมาณ log1000 +1/1000 #

แทนใน

#x = 1,000 log1000 / (log1000 + 1/1000) = 1000 (3000/3001) #

แต่ #3000/3001 = 0.999667# ดังนั้น

#x = 999.667> 999 # แล้วก็

#1000^1000 > 1001^999#

ตอบ:

นี่คือวิธีแก้ปัญหาทางเลือกโดยใช้ทฤษฎีบททวินามเพื่อพิสูจน์:

#1001^999 < 1000^1000#

คำอธิบาย:

โดยทฤษฎีบททวินาม:

#(1+1/1000)^999 = 1/(0!) + 999/(1!)1/1000 + (999*998)/(2!)1/1000^2 + (999*998*997)/(3!) 1/1000^3 + … + (999!)/(999!) 1/1000^999#

# <1 / (0!) + 1 / (1!) + 1 / (2!) + 1 / (3!) + … = e ~~ 2.718 #

ดังนั้น:

#1001^999 = (1001/1000 * 1000) ^ 999#

#color (white) (1001 ^ 999) = (1 + 1 / 1,000) ^ 999 * 1,000 ^ 999 #

#color (white) (1001 ^ 999) <e * 1000 ^ 999 <1,000 * 1,000 ^ 999 = 1000 ^ 1000 #

ตอบ:

#1000^1000 > 1001^999#

คำอธิบาย:

#Use log 1000 = log 10 ^ 3 = 3 และ log 1001 = 3.0004340 …

นี่คือลอการิทึมของทั้งสอง

#log (1000 ^ 1,000) = 1,000 log1000 = (1000) (3) = 3000 # และ

#log 1001 ^ 999 = (999) (3.0004340 …) = 2997.4 #…

เนื่องจาก log เป็นฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น

#1000^1000 > 1001^999#.