ฟังก์ชั่นคลื่นคืออะไรและมีข้อกำหนดอะไรบ้างที่จะต้องมีความประพฤติดีเช่นมีการแสดงความเป็นจริงทางกายภาพอย่างถูกต้อง

ตอบ:

ฟังก์ชั่นคลื่นเป็นฟังก์ชันที่มีมูลค่าซับซ้อนซึ่งแอมพลิจูด (ค่าสัมบูรณ์) ให้การแจกแจงความน่าจะเป็น อย่างไรก็ตามมันไม่ได้ทำงานในลักษณะเดียวกับคลื่นธรรมดา

คำอธิบาย:

ในกลศาสตร์ควอนตัมเราพูดถึงสถานะของระบบ หนึ่งในตัวอย่างที่ง่ายที่สุดคืออนุภาคที่สามารถหมุนขึ้นหรือลงเช่นอิเล็กตรอน เมื่อเราวัดการหมุนของระบบเราจะวัดว่ามันจะขึ้นหรือลง สถานะที่เรามั่นใจในผลลัพธ์ของการวัดเราเรียกว่าไอเก็นสเตท (สถานะขึ้นหนึ่งสถานะ # uarr # และสถานะหยุดลงหนึ่งสถานะ # Darr #).

นอกจากนี้ยังมีรัฐที่เราไม่แน่ใจเกี่ยวกับผลลัพธ์ของการวัดก่อนที่เราจะวัด สถานะเหล่านี้เราเรียกว่าการทับซ้อนและเราสามารถเขียนมันลงไป # A * uarr + b * Darr #. ที่นี่เรามี # | คุณ | ^ 2 # ความน่าจะเป็นของการวัด # uarr #และ # | ข | ^ 2 # ความน่าจะเป็นของการวัด # Darr #. ซึ่งหมายความว่าแน่นอนว่า # | คุณ | ^ 2 + | ข | ^ 2 = 1 #. เราอนุญาต # A, B # เพื่อให้เป็นตัวเลขที่ซับซ้อนเหตุผลในการไม่ชัดเจนในทันทีจากตัวอย่างนี้ แต่ในบริบทของคลื่นมันจะมีความชัดเจนมากขึ้น บรรทัดล่างคือว่ามีสถานะมากกว่าหนึ่งให้ความน่าจะเป็นเดียวกันสำหรับการวัดหมุน

ตอนนี้เราสามารถลองกำหนดฟังก์ชั่นให้กับสถานะสปินนี้ เนื่องจากมีเพียงสองผลลัพธ์ของการวัดการหมุนเราจึงมีฟังก์ชั่นที่มีอินพุตที่เป็นไปได้เพียงสองตัว ถ้าเราเรียกฟังก์ชั่น # # ปอนด์ต่อตารางนิ้ว (นี่เป็นสัญลักษณ์ธรรมดาที่ใช้สำหรับ wavefuntion) เราตั้งค่าไว้ #psi (uarr) = a # และ #psi (Darr) = B #.

ตอนนี้เราหันไปหาคลื่น แง่มุมหนึ่งของอนุภาคก็คือตำแหน่งของมัน เช่นเดียวกับในกรณีของการหมุนเราสามารถวัดค่าที่แตกต่างกันสำหรับตำแหน่งและเราสามารถระบุสถานะซึ่งผลการวัดไม่ได้รับการแก้ไขล่วงหน้า เนื่องจากเรามีสถานที่จำนวนอนันต์นับไม่ถ้วนที่สามารถเป็นอนุภาคได้เขียนสถานะนี้เป็น # A * "ที่นี่" + b * "มี" # จะไม่ทำ อย่างไรก็ตามความคิดของฟังก์ชั่นที่เราได้ใช้ข้างต้นไม่ ดังนั้นสำหรับสถานที่ใด ๆ # x #เรามีค่าที่ซับซ้อน #psi (x) #. ตอนนี้ฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของอนุภาคนั้นถูกกำหนดโดย # | ปอนด์ต่อตารางนิ้ว (x) | ^ 2 #.

ในความเป็นธรรมทั้งหมดความคิดเกี่ยวกับคลื่นในอดีตนั้นเก่ากว่าของการหมุน แต่ฉันคิดว่าการเข้าใจความคิดของการหมุนในระดับหนึ่งช่วยในการทำความเข้าใจคลื่น

ก่อนอื่นทำไม wavefunction complex ถึงมีค่า? เหตุผลแรกที่สามารถพบได้ในความคิดของการรบกวน ฟังก์ชั่นคลื่นของอนุภาคสามารถรบกวนตัวเอง การแทรกสอดนี้เกี่ยวข้องกับการเพิ่มการแทรกซึมของคลื่นหากการแทรกซึมของคลื่นให้ค่าสัมบูรณ์ที่เท่ากัน ณ จุดหนึ่งความน่าจะเป็นในการวัดอนุภาครอบ ๆ จุดนั้นจะคล้ายกัน อย่างไรก็ตามค่าของฟังก์ชั่นอาจแตกต่างกันหากพวกมันเหมือนกันการเพิ่มพวกมันจะทำให้แอมพลิจูดหรือความหนาแน่นของความน่าจะเป็น 4 (#|2|^2#) มีขนาดใหญ่ขึ้น (สัญญาณรบกวนเชิงสร้างสรรค์) และหากมีความแตกต่างกันโดยสัญญาณพวกเขาก็จะลบล้างซึ่งกันและกัน (สัญญาณรบกวนแบบทำลายล้าง) อย่างไรก็ตามยังสามารถแตกต่างกันโดยปัจจัยตัวอย่างเช่น #ผม#หมายความว่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็นกลายเป็น #2# ครั้งใหญ่กว่า ณ จุดนั้น เรารู้ว่าสิ่งเหล่านี้สามารถเกิดขึ้นได้ ดังนั้นสิ่งนี้ชี้ไปที่ค่าคลื่นที่ซับซ้อนตามที่อธิบายไว้ก่อนหน้า

เหตุผลที่สองสามารถพบได้ในสมการชโรดิงเงอร์ เริ่มแรกคิดว่าการทำหน้าที่ของคลื่นเหล่านี้มีลักษณะเหมือนคลื่นแบบดั้งเดิม อย่างไรก็ตามเมื่อSchrödingerพยายามอธิบายพฤติกรรมของคลื่นเหล่านี้หรืออย่างน้อยวิวัฒนาการของพวกเขาตลอดเวลาเขาพบว่าสมการที่ควบคุมคลื่นคลาสสิกไม่เพียงพอ เพื่อให้มันทำงานได้เขาจะต้องนำจำนวนเชิงซ้อนมาใช้ในสมการซึ่งนำไปสู่ข้อสรุปว่าฟังก์ชันนั้นต้องมีความซับซ้อนเช่นกันและลำดับของอนุพันธ์ที่ปรากฏในสมการนั้นแตกต่างจากสมการคลื่นคลาสสิก

ความแตกต่างในสมการนี้ยังตอบคำถามที่สองของคุณ เนื่องจากการวิวัฒนาการของคลื่นแตกต่างจากคลื่นคลาสสิกมากเราจึงไม่สามารถใช้วิธีการเดียวกันกับที่เราใช้ในฟิสิกส์คลื่นคลาสสิก แน่นอนว่ามีข้อโต้แย้งเชิงเรขาคณิตที่คุณสามารถใช้ได้ แต่จะไม่เพียงพอที่จะอธิบายปรากฏการณ์ทั้งหมดในฟิสิกส์ควอนตัม นอกจากนี้แม้ว่าฟังก์ชั่นคลื่นจะให้ข้อมูลจำนวนมากเกี่ยวกับสถานะของอนุภาค แต่มันไม่ได้บอกคุณเกี่ยวกับการหมุนของมันเนื่องจากสปินที่สังเกตได้และตำแหน่งมีส่วนเกี่ยวข้องกับแต่ละคนเพียงเล็กน้อย

บางทีฉันอาจตีความสิ่งที่คุณหมายถึงโดยลักษณะทางเรขาคณิตอย่างผิดพลาด บางทีคุณอาจยกตัวอย่างสิ่งที่คุณหมายถึง บางทีฉันอาจช่วยคุณได้

ฟังก์ชั่นคลื่น แสดงถึงสถานะของระบบกลไกควอนตัมเช่นอะตอมหรือโมเลกุล

มันสามารถแสดงเป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง # # ปอนด์ต่อตารางนิ้ว, เวลาที่เป็นอิสระ ฟังก์ชั่นคลื่นหรือ # Psi #, ขึ้นกับเวลา ฟังก์ชั่นคลื่น

เพราะว่า คลื่น ฟังก์ชั่นอย่างเห็นได้ชัดแสดงให้เห็นถึงระบบที่ทำงานเหมือน คลื่น (มันไม่ใช่เรื่องบังเอิญที่เรียกว่า คลื่น ฟังก์ชั่น!) โดยปกติเราคาดหวังว่า ไม่ จำกัด ฟังก์ชั่นคลื่นที่จะไม่มีขอบเขต พิจารณาข้อเท็จจริงที่ว่า # sinx # และ # cosx #ฟังก์ชั่นสองอย่างที่เป็นคลื่นชัดเจนมีโดเมนของ # (- OO, OO) #.

ตัวอย่าง: ฟังก์ชั่นคลื่นสำหรับวงโคจร

อย่างไรก็ตามลองมาเป็นตัวอย่างในวงโคจร จะต้องมีชุดของ เงื่อนไขขอบเขต สำหรับวงโคจรเพราะวงโคจรที่เห็นได้ชัดไม่ใหญ่อย่างไม่ จำกัด

ฟังก์ชั่นคลื่นสามารถอธิบาย การรวมกันเชิงเส้นของ orbitals อะตอม เพื่อสร้าง orbitals โมเลกุล:

#color (blue) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = color (blue) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +….) #

ที่ไหน # C_i # คือ สัมประสิทธิ์การขยายตัว บ่งบอกถึงการมีส่วนร่วมของแต่ละวงโคจรของอะตอมต่อการโคจรของโมเลกุลโดยเฉพาะอย่างยิ่งในคำถามและ # phi_i ^ "AO" # คือ ฟังก์ชั่นคลื่นทดลอง / ทดลอง สำหรับแต่ละวงโคจรของอะตอม

เนื่องจากฟังก์ชั่นคลื่นจะต้องสามารถแสดงถึงการโคจรมันจะต้องมีรัศมีเชิงบวก (#r> 0 #) และฟังก์ชั่นคลื่นจะต้องเป็น เดียว -valued, ปิด , ต่อเนื่องกัน , เป็นมุมฉาก ไปยังฟังก์ชั่นคลื่นที่เกี่ยวข้องทั้งหมดและ normalizable .

กล่าวอีกนัยหนึ่งมันจะต้องผ่านการทดสอบเส้นแนวตั้งมีพื้นที่ จำกัด ภายใต้โค้งไม่มีกระโดด / discontinuities / asymptotes / หยุดพักและสมการสองสมการต่อไปนี้:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

ฟังก์ชันอินทิกรัลของฟังก์ชันคลื่นและคอนจูเกตที่ซับซ้อนคือ #0# ถ้าฟังก์ชั่นคลื่นแตกต่างกัน)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(ฟังก์ชันอินทิกรัลของฟังก์ชันคลื่นและคอนจูเกตที่ซับซ้อนนั้นถูกทำให้เป็นมาตรฐานเช่นนั้นเท่ากับ #1# หากฟังก์ชั่นคลื่นเหมือนกันนอกเหนือจากสัญลักษณ์ # PMI #)

ตัวอย่างสมการหนึ่งสำหรับฟังก์ชันคลื่นในพิกัดทรงกลมสำหรับอะตอมไฮโดรเจนคือ:

#color (blue) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = color (blue) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

ฉันคิดว่าฉันใช้เวลาเพื่อทำให้สิ่งนี้เป็นปกติ ฉันใช้เวลาในการตรวจสอบ orthogonality กับอีกสองคน # # 2p ฟังก์ชั่นคลื่น: P

ในกรณีที่นี่คือภาคผนวกของสิ่งที่ฉันมีการเชื่อมโยงข้างต้นใน Scratchpads

#' '#

การฟื้นฟูของ

# 2p_z # ฟังก์ชั่นของคลื่นวิทยุอะตอมคือ:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

คือ # 2p_z # wavefunction จริงๆ ปกติ? ลองดูสิ!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (เขียว) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) สแต็คเทล (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) สแต็คเดอร์ (?) (=) 1) #

ตอนนี้ตรวจสอบเฉพาะส่วนรัศมีซึ่งเป็นส่วนที่บ้า … ปล่อยให้การรวมสี่เท่าโดยชิ้นส่วนเริ่ม!

การประเมินส่วนประกอบทางคลื่นของฟังก์ชั่นคลื่น

ส่วนที่ 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

ปล่อย:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

ส่วนที่ 2

ปล่อย:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

ส่วนที่ 3

ปล่อย:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

ส่วนที่ 4

ปล่อย:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) ดร}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0)) ดร}} #

ขยาย / ทำให้เข้าใจง่าย

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

แบบฟอร์มประเมินผลพร้อมใช้

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 +24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

ครึ่งแรกยกเลิก เป็น #0#:

# = ยกเลิก ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 +24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z) (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 +24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

ครึ่งหลังลดความซับซ้อนลง เป็น # * 1 (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = ยกเลิก (e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) ^ (1) ยกเลิก ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + ยกเลิก (4 (a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + ยกเลิก (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + ยกเลิก (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

ตอนนี้ให้เราตรวจสอบฟังก์ชั่นคลื่นอีกครั้ง …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) สแต็กเกอร์ (?) (=) 1 #

# = 1 / (ยกเลิก (32) ยกเลิก (pi)) ยกเลิก ((Z / a_0) ^ 5) (ยกเลิก (16) ยกเลิก ((a_0 / Z) ^ 5)) (ยกเลิก (2) ยกเลิก (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#color (สีน้ำเงิน) (1 = 1) #

ใช่! หนึ่งเท่ากับหนึ่ง! ฉันหมายถึง…

ฟังก์ชั่นคลื่นถูกทำให้เป็นมาตรฐาน!: D

การพิสูจน์ orthogonality ร่วมกันสำหรับฟังก์ชั่นคลื่น 2p

ให้เราเลือกฟังก์ชั่นของคลื่นต่อไปนี้:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

เพื่อแสดงว่าพวกเขาเป็นมุมฉากเราจำเป็นต้องแสดงอย่างน้อยหนึ่งในนั้น:

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

และจากการเหนี่ยวนำเราสามารถบอกเป็นนัยได้ว่าส่วนประกอบที่เป็นรัศมีนั้นเหมือนกัน ในคำอื่น ๆ:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#color (เขียว) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) บาป ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

ส่วนรัศมีจะกลายเป็น # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. ดังนั้นขอให้เราประเมินส่วนเชิงมุม

# theta # ส่วน:

#color (เขียว) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

ปล่อย:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = color (เขียว) (0) #

และตอนนี้ # # พี ส่วน:

#color (เขียว) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

ปล่อย:

#u = sintheta #

#du = costhetad theta #

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = สี (สีเขียว) (0) #

ดังนั้นเรามีภาพรวม:

#color (สีน้ำเงิน) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) บาป ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = ยกเลิก (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0) (0)) ^ (0) #

# = color (blue) (0) #

ตั้งแต่

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

# 2p_z # และ # 2p_x # orbitals อะตอมเป็นมุมฉาก

จริงๆแล้วความแตกต่างหลักกับการใช้ # 2p_y # สมการคือคุณจะได้รับ:

#color (เขียว) ("คงที่" int_ (0) ^ (oo) "สิ่งเดียวกัน" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

และอื่น ๆ:

#color (สีน้ำเงิน) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = color (blue) (0) #

จากการคูณ #0# โดยปริพันธ์อื่น ๆ ดังนั้นอินทิกรัลทั้งหมดจึงหายไปและ:

#int _ ("all space") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

ดังนั้น # 2p_x # และ # 2p_y # orbitals อะตอมเป็นมุมฉาก

ในที่สุดสำหรับ # 2p_y # เทียบกับ # 2p_z #:

#color (เขียว) ("คงที่" int_ (0) ^ (oo) "สิ่งเดียวกัน" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) stackph Sinphidphi (?) (=) 0) #

เรารู้จัก # theta # สำคัญจากก่อน:

#color (สีน้ำเงิน) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = สี (สีน้ำเงิน) (0) #

ดังนั้นอินทิกรัลทั้งหมดจึงหายไปอีกครั้งและแน่นอน # 2p_y # และ # 2p_z # orbitals เป็นฉากฉากเช่นกัน!