สมมติว่า K และ L เป็นพื้นที่เวกเตอร์จริงที่แตกต่างกันสองสเปซ V หากได้รับสลัว (K) = ติ่มซำ (L) = 4 จะกำหนดขนาดขั้นต่ำได้อย่างไรสำหรับ V

ตอบ:

5

คำอธิบาย:

ขอเวกเตอร์สี่ตัว # k_1, k_2, k_3 # และ # k_4 # สร้างพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ # K #. ตั้งแต่ # K # เป็นพื้นที่ย่อยของ # V #เวกเตอร์สี่ตัวนี้เป็นชุดที่มีความเป็นอิสระเชิงเส้น # V #. ตั้งแต่ # L # เป็นพื้นที่ย่อยของ # V # แตกต่างจาก # K #ต้องมีองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งรายการ # l_1 # ใน # L #ซึ่งไม่ได้อยู่ใน # K #, i.e ซึ่งไม่ใช่ชุดค่าผสมเชิงเส้นของ # k_1, k_2, k_3 # และ # k_4 #.

ดังนั้นการตั้งค่า # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # เป็นเซตเชิงเส้นอิสระของเวกเตอร์ใน # V #. ดังนั้นมิติของ # V # อย่างน้อย 5!

ในความเป็นจริงมันเป็นไปได้ในช่วง # {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} # เป็นพื้นที่เวกเตอร์ทั้งหมด # V # - ดังนั้นจำนวนเวกเตอร์พื้นฐานขั้นต่ำจะต้องเป็น 5

ขอยกตัวอย่าง # V # เป็น # RR ^ 5 # และปล่อยให้ # K # และ # V # ประกอบด้วยเวกเตอร์ของแบบฟอร์ม

# ((อัลฟา), (เบต้า), (แกมม่า), (เดลต้า), (0)) # และ # ((mu), (nu), (lambda), (0), (phi)) #

มันง่ายที่จะเห็นว่าเวกเตอร์

#((1),(0),(0),(0),(0))#,#((0),(1),(0),(0),(0))#,#((0),(0),(1),(0),(0))#และ #((0),(0),(0),(0),(0))#

รูปแบบพื้นฐานของ # K #. ผนวกเวกเตอร์ #((0),(0),(0),(0),(0))#และคุณจะได้รับพื้นฐานสำหรับพื้นที่เวกเตอร์ทั้งหมด