Orthocenter ของรูปสามเหลี่ยมที่มีมุมคืออะไร (4, 7), (8, 2) และ (5, 6) #?

ตอบ:

พิกัดของ Orthocenter #color (แดง) (O (40, 34) #

คำอธิบาย:

ความชันของส่วนของเส้น BC # = m_ (BC) = (6-2) / (5-8) = -4 / 3 #

ความชันของ #m_ (AD) = - (1 / m_ (BC)) = (3/4) #

สมการของความสูงผ่าน A และตั้งฉากกับ BC

#y - 7 = (3/4) (x - 4) #

# 4y - 3x = 16 # Eqn (1)

ความชันของส่วนบรรทัด AC #m_ (AC) = (7-6) / (4-5) = -1 #

ความชันของความสูงตั้งฉากกับ BC #m_ (BE) = - (1 / m_ (AC)) = - (1 / -1) = 1 #

สมการของความสูงผ่าน B และตั้งฉากกับ AC

#y - 2 = 1 * (x - 8) #

#y - x = -6 # Eqn (2)

การแก้สมการ (1), (2) เรามาถึงพิกัดของ orthocenter O

#x = 40, y = 34 #

พิกัดของ orthocenter #O (40, 34) #

การยืนยัน:

ความชันของ #CF = - (4-8) / (7-2) = (4/5) #

สมการของระดับความสูง CF

#y - 6 = (4/5) (x - 5) #

# 5y - 4x = 10 # Eqn (3)

พิกัดของ Orthocenter #O (40, 34) #

ตอบ:

orthocenter: #(40,34)#

คำอธิบาย:

ฉันทำกรณีกึ่งทั่วไป ที่นี่ (http://socratic.org/questions/what-is-the-the-orthocenter-of-a-triangle-with-corners-at-7-3-4-4) และอื่น-2-8)

สรุปคือ orthocenter ของรูปสามเหลี่ยมกับจุดยอด # (A, B) # # (C, D) # และ #(0,0)# คือ

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

ลองทดสอบโดยใช้กับสามเหลี่ยมนี้แล้วเปรียบเทียบผลลัพธ์กับคำตอบอื่น

ก่อนอื่นเราแปล (5, 6) ไปยังจุดกำเนิดโดยให้จุดยอดที่แปลอีกสองอัน:

# (A, B) = (4,7) - (5,6) = (- 1,1) #

# (c, d) = (8,2) - (5,6) = (3, -4) #

เราใช้สูตรในพื้นที่ที่แปล:

# (x, y) = {-1 (3) + 1 (-4)} / {- 1 (-4) - 1 (3)} (-5, -4) = -7 (-5, -4) = (35,28) #

ตอนนี้เราแปลกลับสำหรับผลลัพธ์ของเรา:

orthocenter: #(35,28) + (5,6) = (40,34)#

ที่ตรงกับคำตอบอื่น ๆ !