มีจำนวนเต็มบวกสามตัวที่ต่อเนื่องกันซึ่งผลรวมของกำลังสองของขนาดเล็กที่สุดคือ 221 ตัวเลขคืออะไร?

ตอบ:

มี #10, 11, 12#.

คำอธิบาย:

เราสามารถโทรไปที่หมายเลขแรก # n #. ตัวเลขที่สองจะต้องต่อเนื่องกันดังนั้นจึงจะเป็น # 1 + n # และอันที่สามคือ # n + 2 #.

เงื่อนไขที่กำหนดไว้ที่นี่คือสี่เหลี่ยมของเลขตัวแรก # n ^ 2 # บวกสแควร์ของตัวเลขต่อไปนี้ # (n + 1) ^ 2 # คือ 221 เราสามารถเขียนได้

# n ^ 2 + (n + 1) ^ 2 = 221 #

# n ^ 2 + n ^ 2 + 2n + 1 = 221 #

# 2n ^ 2 + 2 n = 220 #

# n ^ 2 + n = 110 #

ตอนนี้เรามีสองวิธีในการแก้สมการนี้ อีกกลศาสตร์หนึ่งศิลปะอีกหนึ่ง

กลไกคือการแก้สมการอันดับสอง # n ^ 2 + n-110 = 0 # การใช้สูตรสำหรับสมการอันดับสอง

วิธีศิลปะคือการเขียน

#N (n + 1) = 110 #

และสังเกตว่าเราต้องการให้ผลิตภัณฑ์ของตัวเลขสองหมายเลขติดต่อกันจะต้องมี #110#. เนื่องจากตัวเลขเป็นจำนวนเต็มเราจึงสามารถค้นหาตัวเลขเหล่านี้ในปัจจัยของ #110#. เราจะเขียนได้อย่างไร #110#?

ตัวอย่างเช่นเราสังเกตว่าเราสามารถเขียนมันเป็น #110=10*11#.

โอ้ดูเหมือนว่าพวกเราจะพบหมายเลขติดต่อกันแล้ว!

#N (n + 1) = 10 * 11 #.

แล้วก็ # n = 10, n + 1 = 11 # และตัวเลขที่สาม (ไม่มีประโยชน์สำหรับปัญหา) # n + 2 = 12 #.