คุณจะหาอนุพันธ์ของ f (x) = (e ^ (2x) - 3lnx) ^ 4 ได้อย่างไร

ตอบ:

# 4 (2e ^ (2x) - (3 / x)) × (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3 #

คำอธิบาย:

อนุพันธ์ของ #f (x) # สามารถคำนวณได้โดยใช้กฎลูกโซ่ที่ระบุว่า:

#f (x) # สามารถเขียนเป็นฟังก์ชันคอมโพสิตที่:

#v (x) = e ^ (2x) -3lnx #

#u (x) = x ^ 4 #

ดังนั้น, #f (x) = u (v (x)) #

การใช้กฎลูกโซ่ในฟังก์ชันคอมโพสิต #f (x) #เรามี:

#color (สีม่วง) (f '(x) = u (v (x))' #

#color (สีม่วง) (f '(x) = v' (x) × u '(v (x))) #

มาหากัน #color (สีม่วง) (v '(x) #

การใช้กฎลูกโซ่กับอนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง:

#color (แดง) ((e ^ (g (x))) '= g' (x) × e ^ (g (x))) #

การรู้จักอนุพันธ์ของ #ln (x) # ที่พูดว่า:

#color (สีน้ำตาล) ((ln (g (x))) '= (g' (x)) / (g (x))) #

#color (สีม่วง) (v '(x)) = color (สีแดง) ((2x)' e ^ (2x)) - 3 color (สีน้ำตาล) ((x ') / (x)) #

#color (สีม่วง) ((v '(x)) = 2e ^ (2x) - (3 / x)) #

มาหากัน #color (สีน้ำเงิน) (u '(x)) #:

การใช้อนุพันธ์ของพลังงานที่ระบุไว้ดังต่อไปนี้:

#color (เขียว) (x ^ n = nx ^ (n-1) #

#color (สีน้ำเงิน) (u '(x)) = color (เขียว) (4x ^ 3) #

ตามกฎลูกโซ่ข้างต้นที่เราต้องการ #u '(v (x)) # ดังนั้นขอทดแทน # x # โดย #v (x) #:

#u '(v (x)) = 4 (v (x)) ^ 3 #

#color (สีม่วง) (u '(v (x)) = 4 (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3) #

ลองแทนค่าของ #u '(v (x)) #และ #v '(x) # ในกฎลูกโซ่ด้านบนเรามี:

#color (สีม่วง) (f '(x) = v' (x) × u '(v (x))) #

#color (สีม่วง) (f '(x) = (2e ^ (2x) - (3 / x)) × 4 (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3) #

#color (สีม่วง) (f '(x) = 4 (2e ^ (2x) - (3 / x)) × (e ^ (2x) -3lnx) ^ 3) #