คุณจะหาอนุพันธ์ของ tan (x - y) = x ได้อย่างไร?

ตอบ:

# (DY) / (DX) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

คำอธิบาย:

ฉันสมมติว่าคุณต้องการค้นหา # (DY) / (DX) #. สำหรับสิ่งนี้ก่อนอื่นเราต้องมีการแสดงออก # Y # ในแง่ของ # x #. เราทราบว่าปัญหานี้มีวิธีแก้ไขปัญหาต่าง ๆ ตั้งแต่ #tan (x) # เป็นฟังก์ชั่นเป็นระยะ #tan (x-y) = x # จะมีหลายวิธี อย่างไรก็ตามเนื่องจากเรารู้ระยะเวลาของฟังก์ชันแทนเจนต์ (# # ปี่) เราสามารถทำสิ่งต่อไปนี้: # x-Y = สีน้ำตาล ^ (- 1) x + NPI #ที่ไหน #tan ^ (- 1) # เป็นฟังก์ชันผกผันของค่าแทนเจนต์ที่ให้ค่าระหว่าง # -pi / 2 # และ # ปี่ / 2 # และปัจจัย # NPI # ถูกเพิ่มไปยังบัญชีสำหรับช่วงเวลาของการสัมผัสกัน

สิ่งนี้ทำให้เรา # การ y = x-ตาล ^ (- 1) x-NPI #ดังนั้น # (DY) / (DX) = 1 / d (DX) สีน้ำตาล ^ (- 1) x #โปรดทราบว่าปัจจัย # NPI # ได้หายไป ตอนนี้เราต้องค้นหา # D / (DX) สีน้ำตาล ^ (- 1) x #. นี่ค่อนข้างยุ่งยาก แต่สามารถทำได้โดยใช้ทฤษฎีฟังก์ชันย้อนกลับ

การตั้งค่า # U = ตาล ^ (- 1) x #, เรามี # x = = tanu Sinu / cosu #ดังนั้น # (DX) / (du) = (cos ^ 2u + sin ^ 2u) / cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u #ใช้กฎความฉลาดทางและตรีโกณมิติบางอย่าง ใช้ทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผัน (ซึ่งระบุว่าถ้า # (DX) / (du) # มีต่อเนื่องและไม่เป็นศูนย์เรามี # (du) / (DX) = 1 / ((DX) / (du)) #), เรามี # (du) / (DX) = cos ^ 2u #. ตอนนี้เราต้องการที่จะแสดง # cos ^ 2u # ในแง่ของ x

ในการทำเช่นนี้เราใช้ตรีโกณมิติ ให้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านข้าง # A, B, C # ที่ไหน c # # คือด้านตรงข้ามมุมฉากและ # A, B # เชื่อมต่อกับมุมขวา ถ้า #ยู# คือมุมที่ด้านข้าง c # # ด้านข้างตัดกัน # A #, เรามี # x = = tanu / b #. ด้วยสัญลักษณ์ # A, B, C # ในสมการเราแสดงถึงความยาวของขอบเหล่านี้ # cosu = A / C # และการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเราพบว่า # c = sqrt (ก ^ 2 + B ^ 2) = asqrt (1+ (/ b) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. สิ่งนี้จะช่วยให้ # cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #ดังนั้น # (du) / (DX) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

ตั้งแต่ # U = ตาล ^ (- 1) x #เราสามารถแทนที่สิ่งนี้เป็นสมการของเรา # (DY) / (DX) # และค้นหา # (DY) / (DX) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.

คุณจะหาอนุพันธ์ของ f (x) = 1 / (x-1) ได้อย่างไร?

F '(x) = - (x-1) ^ - 2 f (x) = (x-1) ^ - 1 f' (x) = - 1 * (x-1) ^ (- 1-1) * d / dx [x-1] สี (ขาว) (f '(x)) = - (x-1) ^ - 2

คุณจะหาอนุพันธ์ของ y = e ^ (x ^ (1/2)) ได้อย่างไร?

E ^ sqrt (x) / (2sqrt (x)) การทดแทนที่นี่จะช่วยได้อย่างมาก! สมมุติว่า x ^ (1/2) = u ตอนนี้ y = e ^ u เรารู้ว่าอนุพันธ์ของ e ^ x คือ e ^ x ดังนั้น; dy / dx = e ^ u * (du) / dx โดยใช้กฎลูกโซ่ d / dx x ^ (1/2) = (du) / dx = 1/2 * x ^ (- 1/2) = 1 / ( 2sqrt (x)) ตอนนี้เสียบ (du) / dx และ u กลับเข้าไปในสมการ: D dy / dx = e ^ sqrt (x) / (2sqrt (x))

คุณจะหาอนุพันธ์ของ sqrt (x ln (x ^ 4)) ได้อย่างไร

(ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) เขียนมันใหม่เป็น: [(xln (x ^ 4)) ^ (1/2)] 'ตอนนี้เราต้องสืบหาจาก ด้านนอกสู่ด้านในโดยใช้กฎลูกโซ่ 1/2 [xln (x ^ 4)] ^ (- 1/2) * [xln (x ^ 4)] 'ที่นี่เรามีอนุพันธ์ของผลิตภัณฑ์ 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [(x ') ln (x ^ 4) + x (ln (x ^ 4))'] 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [1 * ln (x ^ 4) + x (1 / x ^ 4 * 4x ^ 3)] เพียงแค่ใช้พีชคณิตพื้นฐานเพื่อรับรุ่นที่ถูกแบ่ง: 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [ ln (x ^ 4) +4] และเราได้คำตอบ: (ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) โดยวิธีที่คุณสามารถเขียนปัญหา inital เพื่อทำให้มันเป็นจริง ง่ายขึ้น: sqrt (4xln (x)) sqrt (4) sqrt (xln (x)) 2