สามเหลี่ยม A มีพื้นที่ 9 และสองด้านยาว 6 และ 9 สามเหลี่ยม B นั้นคล้ายกับสามเหลี่ยม A และมีด้านยาว 12 พื้นที่สามเหลี่ยมขั้นสูงสุดและต่ำสุดที่เป็นไปได้คืออะไร?

ตอบ:

นาที # = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} ประมาณ 5.922584784 … #

แม็กซ์ # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} ประมาณ 85.39448839 … #

คำอธิบาย:

ได้รับ:

# Area _ { triangleA} = 9 #

ความยาวด้านข้างของ # triangleA # เป็น # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

ความยาวด้านข้างของ # triangleB # เป็น # U, V, W #

#U = 12 #

# triangle A text {คล้ายกัน} triangle B #

ก่อนแก้เพื่อ # Z #:

ใช้สูตรของนกกระสา: # A = sqrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # ที่ไหน # S = frac {A + B + C} {2} #, ย่อยในพื้นที่ 9 และความยาว 6 และ 9

# S = frac {15 + z} {2} #

# 9 = sqrt {(frac {15 + Z} {2}) (frac {Z + 3} {2}) (frac {Z - 3} {2}) (frac {15 - z} { 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

ปล่อย # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

ใช้สูตรสมการกำลังสอง

# u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # ปฏิเสธวิธีแก้ปัญหาเชิงลบเช่น # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

ดังนั้น # Z ประมาณ 3.895718613 # และ # 14.79267983 # ตามลำดับ

# เพราะ Triangle A text {คล้ายกัน} triangle B, พื้นที่ _ { triangle B} = k ^ 2 * พื้นที่ _ { triangleA} # ที่ไหน # k # เป็นปัจจัยการปรับขนาด

# k = 12 / s # ที่จัดเรียงในลำดับ: #s in {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, 6, 9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} #

หรือในรูปแบบทศนิยม: #s in {3.895718613, 6, 9,14.79267983} #

ยิ่งมูลค่าของ # s # พื้นที่ที่เล็กลงและยิ่งค่าของ # s # พื้นที่ยิ่งใหญ่

ดังนั้นเพื่อลดพื้นที่เลือก # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

และเพื่อเพิ่มพื้นที่เลือก # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

ดังนั้นพื้นที่ขั้นต่ำ # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} ประมาณ 5.922584784 … #

และพื้นที่สูงสุด # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} ประมาณ 85.39448839 … #