ถ้าไม่มีกราฟคุณจะตัดสินใจได้อย่างไรว่าระบบสมการเชิงเส้นต่อไปนี้มีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียววิธีแก้ปัญหามากมายหรือไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ตอบ:

ระบบของ # N # สมการเชิงเส้นด้วย # N # ตัวแปรที่ไม่รู้จักที่ไม่มีการอ้างอิงเชิงเส้นตรงระหว่างสมการ (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ปัจจัย ไม่ใช่ศูนย์) จะมีวิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียวเท่านั้น

คำอธิบาย:

ลองพิจารณาระบบสมการเชิงเส้นสองตัวพร้อมกับตัวแปรที่ไม่รู้จักสองตัว:

# ขวาน + โดย = C #

# Dx + Ey = F #

ถ้าจับคู่ # (A, B) # ไม่ใช่สัดส่วนที่จะจับคู่ # (D, E) # (นั่นคือไม่มีหมายเลขดังกล่าว # k # ที่ # D = kA # และ # E = kB #ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ตามเงื่อนไข # A * E-B * D! = 0 #) จากนั้นมีวิธีแก้ปัญหาเดียวเท่านั้น:

# x = (C * E-B * F) / (A * E-B * D) #, # การ y = (A * F-C * D) / (A * E-B * D) #

ตัวอย่าง:

# x + Y = 3 #

# x-2y = -3 #

สารละลาย:

# x = (3 * (- 2) -1 * (- 3)) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 1 #

# การ y = (1 * (- 3) -3 * 1) / (1 * (- 2) -1 * 1) = 2 #

ถ้าจับคู่ # (A, B) # เป็นสัดส่วนกับคู่ # (D, E) # (ซึ่งหมายความว่ามีจำนวนดังกล่าว # k # ที่ # D = kA # และ # E = kB #ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยเงื่อนไข # A * E-B * D = 0 #) มีสองกรณี:

(a) โซลูชั่นจำนวนไม่ จำกัด หาก # C # และ # F # เป็นสัดส่วนกับสัมประสิทธิ์เช่นเดียวกับ # A # และ # D #, นั่นคือ # F = KC #ที่ไหน # k # เป็นสัมประสิทธิ์ของสัดส่วนเดียวกัน

ตัวอย่าง:

# x + Y = 3 #

# 2x + 2y = 6 #

ที่นี่ # k = 2 # สำหรับทุกคู่: # D = 2A #, # E = 2B #, # F = 2C #.

สมการที่สองนั้นเป็นผลลัพธ์ที่เกิดขึ้นตามมาของสมการแรก (เพียงแค่คูณสมการแรกด้วย #2#) และดังนั้นจึงไม่ให้ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับสิ่งแปลกปลอมลดจำนวนสมการได้อย่างมีประสิทธิภาพถึง 1

(b) ไม่มีวิธีแก้ปัญหาเลยถ้า #F! = KC #

ตัวอย่าง:

# x + 4Y = 3 #

# 2x + 8y = 5 #

ในกรณีนี้สมการขัดแย้งกันนับตั้งแต่โดยการคูณตัวแรกด้วย 2 เราจะได้สมการ # 2x + 8y = 6 #ซึ่งไม่สามารถแก้ปัญหาทั่วไปด้วย # 2x + 8y = 5 # เนื่องจากส่วนด้านซ้ายของสมการทั้งสองนี้เท่ากัน แต่ส่วนที่ไม่ถูกต้อง