คุณจะหาอินทิกรัลของ int 1 / (1 + cos (x)) ได้อย่างไร?

ตอบ:

# -cotx + cscx + "C" #

คำอธิบาย:

# int1 / (1 + cosx) dx = int (1-cosx) / ((1 + cosx) (1-cosx)) dx #

# = int (1-cosx) / (1-cos ^ 2x) dx #

# = int (1-cosx) / sin ^ 2xdx #

# = int 1 / sin ^ 2xdx-intcosx / sin ^ 2xdx #

=#int csc ^ 2xdx-intcotxcscxdx #

=# -cotx + cscx + "C" #

แสดงว่าcos²π / 10 + cos²4π / 10 + cos²6π / 10 + cos²9π / 10 = 2 ฉันสับสนเล็กน้อยถ้าฉันทำCos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10) มันจะเปลี่ยนค่าลบเป็น cos (180 ° -theta) = - costheta ใน ด้านที่สอง ฉันจะไปพิสูจน์คำถามได้อย่างไร

โปรดดูที่ด้านล่าง. LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (pi) / 10) = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) = 2 * [cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * [sin ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10)] = 2 * 1 = 2 = RHS

ฉันจะหาอินทิกรัล int (x * cos (5x)) dx ได้อย่างไร

เราจะคำนึงถึงสูตรการรวมเข้าด้วยกันซึ่งก็คือ: int u dv = uv - int v du เพื่อหาอินทิกรัลนี้สำเร็จเราจะให้ u = x, และ dv = cos 5x dx ดังนั้น du = dx และ v = 1/5 sin 5x (v สามารถพบได้โดยใช้การแทนที่ u อย่างรวดเร็ว) เหตุผลที่ฉันเลือก x สำหรับค่าของ u คือเพราะฉันรู้ว่าในภายหลังฉันจะสิ้นสุดการรวม v คูณด้วยอนุพันธ์ของ u เนื่องจากอนุพันธ์ของ u เป็นเพียง 1 และเนื่องจากการรวมฟังก์ชั่นตรีโกณมิติด้วยตัวเองไม่ได้ทำให้มันซับซ้อนขึ้นเราจึงลบ x จากอินทิกแรนด์ได้อย่างมีประสิทธิภาพและเพียงแค่ต้องกังวลเกี่ยวกับไซน์เท่านั้น ดังนั้นเมื่อเสียบเข้ากับสูตรของ IBP เราจะได้รับ: int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx การดึง 1/5 จากอินทิกรั

คุณจะหาอินทิกรัลของ (x ^ 2) / (sqrt (4- (9 (x ^ 2))) ได้อย่างไร?

Int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c สำหรับปัญหานี้เพื่อให้เข้าใจ 4-9x ^ 2> = 0 ดังนั้น -2/3 <= x <= 2/3 ดังนั้นเราสามารถเลือก 0 <= u <= pi ซึ่ง x = 2 / 3cosu การใช้สิ่งนี้เราสามารถรองรับตัวแปร x ในอินทิกรัลได้โดยใช้ dx = -2 / 3sinudu: int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u )) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu ที่นี่เราใช้ 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u และนั่นสำหรับ 0 <= u <= pi sinu> = 0 ตอนนี้เราใช้การรวมเป็นส่วน ๆ เพื่อค้นหา intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-in