ฉันจะหาอินทิกรัล int (x * cos (5x)) dx ได้อย่างไร

เราจะคำนึงถึงสูตรการรวมเข้าด้วยกันซึ่งก็คือ:

#int u dv = uv - int v du #

เพื่อหาอินทิกรัลนี้ให้สำเร็จเราจะปล่อยให้ #u = x #และ #dv = cos 5x dx #. ดังนั้น, #du = dx # และ #v = 1/5 sin 5x #. (# v # สามารถพบได้โดยใช้อย่างรวดเร็ว #ยู#-การแทน)

เหตุผลที่ฉันเลือก # x # สำหรับค่าของ #ยู# เป็นเพราะฉันรู้ว่าในภายหลังฉันจะจบลงด้วยการรวม # v # คูณด้วย #ยู#อนุพันธ์ของ เนื่องจากอนุพันธ์ของ #ยู# เป็นเพียง #1#และเนื่องจากการรวมฟังก์ชั่นตรีโกณมิติด้วยตัวเองไม่ได้ทำให้มันซับซ้อนขึ้นเราจึงได้ลบ # x # จากผู้ผสานและเพียงแค่ต้องกังวลเกี่ยวกับไซน์ในขณะนี้

ดังนั้นเมื่อเสียบเข้ากับสูตรของ IBP เราจะได้รับ:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx #

ดึง #1/5# จากการผสานรวมทำให้เรา:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/5 int บาป 5x dx #

การรวมไซน์จะใช้เวลาเพียง #ยู#-การแทน. เนื่องจากเราใช้ไปแล้ว #ยู# สำหรับสูตรของ IBP ฉันจะใช้ตัวอักษร # Q # แทน:

#q = 5x #

#dq = 5 dx #

เพื่อรับ # 5 dx # ภายในอินทิกรัลและฉันจะคูณอินทิกรัลกับอันอื่น #1/5#:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int 5 วินาที 5xdx #

และแทนที่ทุกอย่างในแง่ของ # Q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - 1/25 int sinq * dq #

เรารู้ว่าส่วนประกอบสำคัญของ #บาป# คือ # -cos #ดังนั้นเราสามารถทำให้อินทิกรัลนี้จบได้อย่างง่ายดาย จดจำค่าคงที่ของการรวม:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + 1/25 cos q + C #

ตอนนี้เราจะทดแทนกลับ # Q #:

#int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 + (cos 5x) / 25 + C #

และนั่นคืออินทิกรัลของเรา

ฉันจะหาอินทิกรัล int (ln (x)) ^ 2dx ได้อย่างไร

วัตถุประสงค์ของเราคือการลดพลังงานของ ln x เพื่อให้อินทิกรัลนั้นง่ายต่อการประเมิน เราสามารถทำสิ่งนี้ได้โดยใช้การรวมเป็นส่วน ๆ โปรดจำไว้ว่าสูตร IBP: int u dv = uv - int v du ตอนนี้เราจะให้ u = (lnx) ^ 2 และ dv = dx ดังนั้น du = (2lnx) / x dx และ v = x ทีนี้เมื่อประกอบชิ้นส่วนเข้าด้วยกันเราจะได้รับ: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx อินทิกรัลใหม่ดูดีขึ้นมาก! ลดความซับซ้อนลงเล็กน้อยและนำค่าคงที่ออกมาด้านหน้าผลผลิต: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx ทีนี้เพื่อกำจัดอินทิกรัลถัดไปนี้เราจะทำการรวมครั้งที่สอง โดยชิ้นส่วนให้ u = ln x และ dv = dx ดังนั้น du = 1 / x dx และ v = x การประกอบช่วยให้เรา: i

ฉันจะหาอินทิกรัล int (x ^ 2 * sin (pix)) dx ได้อย่างไร

การใช้การรวมโดยชิ้นส่วน intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C โปรดจำไว้ว่าการรวมกลุ่มโดยใช้สูตร: intu dv = uv - intv du ซึ่งเป็นไปตามกฎของผลิตภัณฑ์สำหรับอนุพันธ์: uv = vdu + udv ในการใช้สูตรนี้เราต้องตัดสินใจว่าคำใดจะเป็น u และจะเป็น dv วิธีที่มีประโยชน์ในการค้นหาว่าคำใดไปที่ซึ่งเป็นวิธี ILATE Inverse Trig ลอการิทึมพีชคณิตเอ็กซ์โพเนนเชียลตรีโกณมิติสิ่งนี้ให้ลำดับความสำคัญของคำที่ใช้สำหรับ "u" ดังนั้นสิ่งที่เหลืออยู่จะกลายเป็น dv ของเรา ฟังก์ชั่นของเรามี x ^ 2 และ sinpix ดังนั้นวิธี ILATE บอกเราว่าควรใช้ x ^ 2 เป็น u ของเราเนื่องจากมันเป็นพีชคณิตและสูงกว่าในราย

ฉันจะหาอินทิกรัล int (x * e ^ -x) dx ได้อย่างไร

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C กระบวนการ: int x e ^ (- x) dx =? อินทิกรัลนี้จะต้องรวมเข้าด้วยกัน โปรดจำไว้ว่าสูตร: int u dv = uv - int v du เราจะให้ u = x และ dv = e ^ (- x) dx ดังนั้น du = dx การค้นหา v จะต้องมีการเปลี่ยนตัวคุณ ฉันจะใช้ตัวอักษร q แทน u เนื่องจากเราใช้ u ในการรวมสูตรสูตรแล้ว v = int e ^ (- x) dx ให้ q = -x ดังนั้น dq = -dx เราจะเขียนอินทิกรัลใหม่เพิ่มสองเชิงลบเพื่อรองรับ dq: v = -int -e ^ (- x) dx เขียนในรูปของ q: v = -int e ^ (q) dq ดังนั้น v = -e ^ (q) การแทนค่า q ให้เรา: v = -e ^ (- x) ตอนนี้เมื่อมองย้อนกลับไปที่สูตรของ IBP เรามีทุกอย่างที่เราต้องเริ่มแทน: int xe ^ (- x) dx = x * (- e ^