#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #
กระบวนการ:
#int x e ^ (- x) dx = # ?
อินทิกรัลนี้จะต้องรวมเข้าด้วยกัน โปรดจำไว้ว่าสูตร:
#int u dv = uv - int v du #
เราจะปล่อยให้
ดังนั้น,
#v = int e ^ (- x) dx # ปล่อย
#q = -x # .ดังนั้น,
#dq = -dx #
เราจะเขียนอินทิกรัลใหม่เพิ่มสองเชิงลบเพื่อรองรับ
#v = -int -e ^ (- x) dx #
เขียนในแง่ของ
#v = -int e ^ (q) dq #
ดังนั้น,
#v = -e ^ (q) #
แทนกลับมา
#v = -e ^ (- x) #
ตอนนี้เมื่อมองย้อนกลับไปที่สูตรของ IBP เรามีทุกสิ่งที่เราต้องการเพื่อเริ่มทดแทน:
#int xe ^ (- x) dx = x * (- e ^ (- x)) - int -e ^ (- x) dx #
ลดความซับซ้อนและยกเลิกสองเชิงลบ:
#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) + int e ^ (- x) dx #
อินทิกรัลที่สองนั้นน่าจะแก้ได้ง่าย - มันเท่ากับ
#int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C #
ฉันจะหาอินทิกรัล int (ln (x)) ^ 2dx ได้อย่างไร
วัตถุประสงค์ของเราคือการลดพลังงานของ ln x เพื่อให้อินทิกรัลนั้นง่ายต่อการประเมิน เราสามารถทำสิ่งนี้ได้โดยใช้การรวมเป็นส่วน ๆ โปรดจำไว้ว่าสูตร IBP: int u dv = uv - int v du ตอนนี้เราจะให้ u = (lnx) ^ 2 และ dv = dx ดังนั้น du = (2lnx) / x dx และ v = x ทีนี้เมื่อประกอบชิ้นส่วนเข้าด้วยกันเราจะได้รับ: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx อินทิกรัลใหม่ดูดีขึ้นมาก! ลดความซับซ้อนลงเล็กน้อยและนำค่าคงที่ออกมาด้านหน้าผลผลิต: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx ทีนี้เพื่อกำจัดอินทิกรัลถัดไปนี้เราจะทำการรวมครั้งที่สอง โดยชิ้นส่วนให้ u = ln x และ dv = dx ดังนั้น du = 1 / x dx และ v = x การประกอบช่วยให้เรา: i
ฉันจะหาอินทิกรัล int (x ^ 2 * sin (pix)) dx ได้อย่างไร
การใช้การรวมโดยชิ้นส่วน intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C โปรดจำไว้ว่าการรวมกลุ่มโดยใช้สูตร: intu dv = uv - intv du ซึ่งเป็นไปตามกฎของผลิตภัณฑ์สำหรับอนุพันธ์: uv = vdu + udv ในการใช้สูตรนี้เราต้องตัดสินใจว่าคำใดจะเป็น u และจะเป็น dv วิธีที่มีประโยชน์ในการค้นหาว่าคำใดไปที่ซึ่งเป็นวิธี ILATE Inverse Trig ลอการิทึมพีชคณิตเอ็กซ์โพเนนเชียลตรีโกณมิติสิ่งนี้ให้ลำดับความสำคัญของคำที่ใช้สำหรับ "u" ดังนั้นสิ่งที่เหลืออยู่จะกลายเป็น dv ของเรา ฟังก์ชั่นของเรามี x ^ 2 และ sinpix ดังนั้นวิธี ILATE บอกเราว่าควรใช้ x ^ 2 เป็น u ของเราเนื่องจากมันเป็นพีชคณิตและสูงกว่าในราย
ฉันจะหาอินทิกรัล int (x * cos (5x)) dx ได้อย่างไร
เราจะคำนึงถึงสูตรการรวมเข้าด้วยกันซึ่งก็คือ: int u dv = uv - int v du เพื่อหาอินทิกรัลนี้สำเร็จเราจะให้ u = x, และ dv = cos 5x dx ดังนั้น du = dx และ v = 1/5 sin 5x (v สามารถพบได้โดยใช้การแทนที่ u อย่างรวดเร็ว) เหตุผลที่ฉันเลือก x สำหรับค่าของ u คือเพราะฉันรู้ว่าในภายหลังฉันจะสิ้นสุดการรวม v คูณด้วยอนุพันธ์ของ u เนื่องจากอนุพันธ์ของ u เป็นเพียง 1 และเนื่องจากการรวมฟังก์ชั่นตรีโกณมิติด้วยตัวเองไม่ได้ทำให้มันซับซ้อนขึ้นเราจึงลบ x จากอินทิกแรนด์ได้อย่างมีประสิทธิภาพและเพียงแค่ต้องกังวลเกี่ยวกับไซน์เท่านั้น ดังนั้นเมื่อเสียบเข้ากับสูตรของ IBP เราจะได้รับ: int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx การดึง 1/5 จากอินทิกรั