ฉันจะหาอินทิกรัล int (ln (x)) ^ 2dx ได้อย่างไร

วัตถุประสงค์ของเราคือการลดพลังของ #ln x # เพื่อให้อินทิกรัลนั้นง่ายต่อการประเมิน

เราสามารถทำสิ่งนี้ได้โดยใช้การรวมเป็นส่วน ๆ โปรดจำไว้ว่าสูตร IBP:

#int u dv = uv - int v du #

ตอนนี้เราจะปล่อยให้ #u = (lnx) ^ 2 #และ #dv = dx #.

ดังนั้น, #du = (2lnx) / x dx #

และ

#v = x #.

ตอนนี้เราประกอบชิ้นส่วนเข้าด้วยกัน:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

อินทิกรัลใหม่นี้ดูดีขึ้นมาก! ทำให้เรียบง่ายขึ้นเล็กน้อยและนำเอาค่าคงที่ออกมาด้านหน้า:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

ทีนี้เพื่อกำจัดอินทิกรัลถัดไปนี้เราจะทำการรวมสองส่วนโดยปล่อย #u = ln x # และ #dv = dx #.

ดังนั้น, #du = 1 / x dx # และ #v = x #.

การประกอบช่วยให้เรา:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

ตอนนี้สิ่งที่ต้องทำก็คือทำให้ง่ายขึ้นโดยคำนึงถึงการเพิ่มค่าคงที่ของการรวม:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

และที่นั่นเรามีมัน โปรดจำไว้ว่าการรวมระบบโดยส่วนต่างๆนั้นเกี่ยวกับการหยิบ #ยู# เพื่อให้สิ่งที่ยุ่งเหยิงกำจัดออกจากอินทิกรัลและ ในกรณีนี้เรานำ # (ln x) ^ 2 # ลงไป #ln x #และจากนั้นลงไปที่ # 1 / x #. ในที่สุดบางคน # x #ถูกยกเลิกไปแล้วและการรวมเข้าด้วยกันก็ง่ายขึ้น

ฉันจะหาอินทิกรัล int (x ^ 2 * sin (pix)) dx ได้อย่างไร

การใช้การรวมโดยชิ้นส่วน intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C โปรดจำไว้ว่าการรวมกลุ่มโดยใช้สูตร: intu dv = uv - intv du ซึ่งเป็นไปตามกฎของผลิตภัณฑ์สำหรับอนุพันธ์: uv = vdu + udv ในการใช้สูตรนี้เราต้องตัดสินใจว่าคำใดจะเป็น u และจะเป็น dv วิธีที่มีประโยชน์ในการค้นหาว่าคำใดไปที่ซึ่งเป็นวิธี ILATE Inverse Trig ลอการิทึมพีชคณิตเอ็กซ์โพเนนเชียลตรีโกณมิติสิ่งนี้ให้ลำดับความสำคัญของคำที่ใช้สำหรับ "u" ดังนั้นสิ่งที่เหลืออยู่จะกลายเป็น dv ของเรา ฟังก์ชั่นของเรามี x ^ 2 และ sinpix ดังนั้นวิธี ILATE บอกเราว่าควรใช้ x ^ 2 เป็น u ของเราเนื่องจากมันเป็นพีชคณิตและสูงกว่าในราย

ฉันจะหาอินทิกรัล int (x * cos (5x)) dx ได้อย่างไร

เราจะคำนึงถึงสูตรการรวมเข้าด้วยกันซึ่งก็คือ: int u dv = uv - int v du เพื่อหาอินทิกรัลนี้สำเร็จเราจะให้ u = x, และ dv = cos 5x dx ดังนั้น du = dx และ v = 1/5 sin 5x (v สามารถพบได้โดยใช้การแทนที่ u อย่างรวดเร็ว) เหตุผลที่ฉันเลือก x สำหรับค่าของ u คือเพราะฉันรู้ว่าในภายหลังฉันจะสิ้นสุดการรวม v คูณด้วยอนุพันธ์ของ u เนื่องจากอนุพันธ์ของ u เป็นเพียง 1 และเนื่องจากการรวมฟังก์ชั่นตรีโกณมิติด้วยตัวเองไม่ได้ทำให้มันซับซ้อนขึ้นเราจึงลบ x จากอินทิกแรนด์ได้อย่างมีประสิทธิภาพและเพียงแค่ต้องกังวลเกี่ยวกับไซน์เท่านั้น ดังนั้นเมื่อเสียบเข้ากับสูตรของ IBP เราจะได้รับ: int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx การดึง 1/5 จากอินทิกรั

ฉันจะหาอินทิกรัล int (x * e ^ -x) dx ได้อย่างไร

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C กระบวนการ: int x e ^ (- x) dx =? อินทิกรัลนี้จะต้องรวมเข้าด้วยกัน โปรดจำไว้ว่าสูตร: int u dv = uv - int v du เราจะให้ u = x และ dv = e ^ (- x) dx ดังนั้น du = dx การค้นหา v จะต้องมีการเปลี่ยนตัวคุณ ฉันจะใช้ตัวอักษร q แทน u เนื่องจากเราใช้ u ในการรวมสูตรสูตรแล้ว v = int e ^ (- x) dx ให้ q = -x ดังนั้น dq = -dx เราจะเขียนอินทิกรัลใหม่เพิ่มสองเชิงลบเพื่อรองรับ dq: v = -int -e ^ (- x) dx เขียนในรูปของ q: v = -int e ^ (q) dq ดังนั้น v = -e ^ (q) การแทนค่า q ให้เรา: v = -e ^ (- x) ตอนนี้เมื่อมองย้อนกลับไปที่สูตรของ IBP เรามีทุกอย่างที่เราต้องเริ่มแทน: int xe ^ (- x) dx = x * (- e ^