การใช้การรวมเป็นส่วน ๆ
# INTX ^ 2sinpixdx #
#=#
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
โปรดจำไว้ว่าการรวมระบบตามส่วนต่างๆใช้สูตร:
# INTU # # DV # =#uv - intv # # du #
ซึ่งอิงจากกฎผลิตภัณฑ์สำหรับอนุพันธ์:
#uv = vdu + udv #
ในการใช้สูตรนี้เราต้องตัดสินใจว่าจะใช้คำใด
Inverse Trig
ลอการิทึม
พีชคณิต
หนุน
exponentials
สิ่งนี้ทำให้คุณมีลำดับความสำคัญของคำที่ใช้สำหรับ "
ตอนนี้เรามี:
#u = x ^ 2 # ,#dv = sinpix #
รายการถัดไปที่เราต้องการในสูตรคือ "
อนุพันธ์ได้มาโดยใช้กฎกำลัง:
# d / dxx ^ 2 = 2x = du #
สำหรับอินทิกรัลเราสามารถใช้การแทนที่ได้
การใช้
ตอนนี้เรามี:
#du = 2x dx # ,#v = # # (- 1 / PI) cospix #
เสียบเข้ากับการรวมระบบดั้งเดิมของเราโดยใช้ชิ้นส่วนสูตรเรามี:
# INTU # # DV # =#uv - intv # # du #
#=#
# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #
ตอนนี้เราเหลืออินทิกรัลอื่นที่เราต้องใช้ Integration โดย Parts อีกครั้งเพื่อแก้ไข โดยการดึง
#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #
อินทิกรัลสุดท้ายนี้เราสามารถแก้ได้ด้วยการเปลี่ยนตัวรอบสุดท้ายให้เรา:
# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #
ตอนนี้เรามี:
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix #
ตอนนี้เราสามารถทำให้เชิงลบและวงเล็บลดความซับซ้อนเพื่อให้ได้คำตอบสุดท้ายของเรา:
# intx ^ 2sinpixdx = #
# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C #
กุญแจสำคัญคือต้องจำไว้ว่าคุณจะจบลงด้วยการเพิ่มหรือลบคำหลาย ๆ คำพร้อมกัน คุณกำลังแยกอินทิกรัลอย่างต่อเนื่องเป็นส่วนที่เล็กลงและจัดการได้ซึ่งคุณต้องติดตามเพื่อหาคำตอบสุดท้าย
ฉันจะหาอินทิกรัล int (ln (x)) ^ 2dx ได้อย่างไร
วัตถุประสงค์ของเราคือการลดพลังงานของ ln x เพื่อให้อินทิกรัลนั้นง่ายต่อการประเมิน เราสามารถทำสิ่งนี้ได้โดยใช้การรวมเป็นส่วน ๆ โปรดจำไว้ว่าสูตร IBP: int u dv = uv - int v du ตอนนี้เราจะให้ u = (lnx) ^ 2 และ dv = dx ดังนั้น du = (2lnx) / x dx และ v = x ทีนี้เมื่อประกอบชิ้นส่วนเข้าด้วยกันเราจะได้รับ: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx อินทิกรัลใหม่ดูดีขึ้นมาก! ลดความซับซ้อนลงเล็กน้อยและนำค่าคงที่ออกมาด้านหน้าผลผลิต: int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx ทีนี้เพื่อกำจัดอินทิกรัลถัดไปนี้เราจะทำการรวมครั้งที่สอง โดยชิ้นส่วนให้ u = ln x และ dv = dx ดังนั้น du = 1 / x dx และ v = x การประกอบช่วยให้เรา: i
ฉันจะหาอินทิกรัล int (x * cos (5x)) dx ได้อย่างไร
เราจะคำนึงถึงสูตรการรวมเข้าด้วยกันซึ่งก็คือ: int u dv = uv - int v du เพื่อหาอินทิกรัลนี้สำเร็จเราจะให้ u = x, และ dv = cos 5x dx ดังนั้น du = dx และ v = 1/5 sin 5x (v สามารถพบได้โดยใช้การแทนที่ u อย่างรวดเร็ว) เหตุผลที่ฉันเลือก x สำหรับค่าของ u คือเพราะฉันรู้ว่าในภายหลังฉันจะสิ้นสุดการรวม v คูณด้วยอนุพันธ์ของ u เนื่องจากอนุพันธ์ของ u เป็นเพียง 1 และเนื่องจากการรวมฟังก์ชั่นตรีโกณมิติด้วยตัวเองไม่ได้ทำให้มันซับซ้อนขึ้นเราจึงลบ x จากอินทิกแรนด์ได้อย่างมีประสิทธิภาพและเพียงแค่ต้องกังวลเกี่ยวกับไซน์เท่านั้น ดังนั้นเมื่อเสียบเข้ากับสูตรของ IBP เราจะได้รับ: int xcos5x dx = (x sin5x) / 5 - int 1/5 sin 5x dx การดึง 1/5 จากอินทิกรั
ฉันจะหาอินทิกรัล int (x * e ^ -x) dx ได้อย่างไร
Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C กระบวนการ: int x e ^ (- x) dx =? อินทิกรัลนี้จะต้องรวมเข้าด้วยกัน โปรดจำไว้ว่าสูตร: int u dv = uv - int v du เราจะให้ u = x และ dv = e ^ (- x) dx ดังนั้น du = dx การค้นหา v จะต้องมีการเปลี่ยนตัวคุณ ฉันจะใช้ตัวอักษร q แทน u เนื่องจากเราใช้ u ในการรวมสูตรสูตรแล้ว v = int e ^ (- x) dx ให้ q = -x ดังนั้น dq = -dx เราจะเขียนอินทิกรัลใหม่เพิ่มสองเชิงลบเพื่อรองรับ dq: v = -int -e ^ (- x) dx เขียนในรูปของ q: v = -int e ^ (q) dq ดังนั้น v = -e ^ (q) การแทนค่า q ให้เรา: v = -e ^ (- x) ตอนนี้เมื่อมองย้อนกลับไปที่สูตรของ IBP เรามีทุกอย่างที่เราต้องเริ่มแทน: int xe ^ (- x) dx = x * (- e ^