วงกลมมีจุดกึ่งกลางที่อยู่บนเส้น y = 7 / 2x +3 และผ่าน (1, 2) และ (8, 1) สมการของวงกลมคืออะไร?

ตอบ:

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #

คำอธิบาย:

จุด A #(1,2)# และจุด B #(8,1)# จะต้องมีระยะทางเดียวกัน (หนึ่งรัศมี) จากศูนย์กลางของวงกลม

นี่คือเส้นของจุด (L) ที่อยู่ห่างจาก A และ B ทั้งหมด

สูตรการคำนวณระยะทาง (d) ระหว่างสองจุด (จาก pythagorus) คือ # d ^ 2 = (x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 #

แทนที่สิ่งที่เรารู้สำหรับจุด A และจุดใดก็ได้บน L

# d ^ 2 = (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 #

แทนที่สิ่งที่เรารู้สำหรับจุด B และจุดใดก็ได้บน L

# d ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

ดังนั้น

# (x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2 = (x-8) ^ 2 + (y-1) ^ 2 #

ขยายวงเล็บ

# x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2-4y + 4 = x ^ 2 -16x + 64 + y ^ 2 -2y + 1 #

ลดความซับซ้อน

# 2x + 4y = 16x + 2y - 60 #

# 2y = 14x - 60 #

#y = 7x -30 #

จุดกึ่งกลางอยู่บนเส้น #y = 7x - 30 # (ชุดของจุดเท่ากับระยะทางจาก A และ B)

และในบรรทัด #y = 7x / 2 + 3 # (รับ)

แก้จุดที่ทั้งสองเส้นตัดกันเพื่อหาจุดศูนย์กลางของวงกลม

# 7x - 30 = 7x / 2 + 3 #

# 14x -60 = 7x + 6 #

# 7x = 66 #

#x = 66/7 #

แทนเป็น #y = 7x / 2 + 3 #

#y = 7 * 66 / (7 * 2) + 3 = 36 #

ศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่ #(66/7, 36)#

ขณะนี้คุณสามารถคำนวณรัศมีกำลังสองของวงกลมได้ดังนี้

# r ^ 2 = (66/7 - 1) ^ 2 + (36-2) ^ 2 #

# r ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 34 ^ 2 #

สูตรทั่วไปสำหรับวงกลมหรือรัศมี # R # คือ

# (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 # กับศูนย์ที่ h, k

ตอนนี้เรารู้แล้ว # H #, # k # และ # R ^ 2 # และสามารถแทนที่พวกเขาเป็นสมการทั่วไปสำหรับวงกลม

# (x - 66/7) ^ 2 + (y - 36) ^ 2 = (59/7) ^ 2 + 1156 #

ขยายวงเล็บ

# x ^ 2 - 132x / 7 + 4356/49 + y ^ 2 -72y + 1296 = 3481/49 + 1156 #

และลดความซับซ้อน

# 7x ^ 2-132x + 7y ^ 2-504y = 3481/7 -7 * 1296 -4356 / 7 + 7 * 1156 #

# 7x ^ 2 - 132x + 7y ^ 2 - 504y + 1105 = 0 #