มีวิธีที่เป็นระบบในการกำหนดจำนวนของตัวเลขระหว่าง 10 และ, บอกว่า, 50, หารด้วยหลักหน่วยของพวกเขา?

ตอบ:

จำนวนของตัวเลขระหว่าง #10# และ # # 10k หารด้วยหน่วยหลักของพวกเขาสามารถแสดงเป็น

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

ที่ไหน #fl (x) # แสดงถึงฟังก์ชั่นการทำแผนที่พื้น # x # เป็นจำนวนเต็มมากที่สุดน้อยกว่าหรือเท่ากับ # x #.

คำอธิบาย:

นี่เทียบเท่ากับการถามจำนวนเต็ม # A # และ # B # มีอยู่ที่ไหน # 1 <= b <5 # และ # 1 <= a <= 9 # และ # A # แบ่ง # 10b + A #

สังเกตได้ว่า # A # แบ่ง # 10b + a # ถ้าและเพียงถ้า # A # แบ่ง # 10b #. ดังนั้นจึงพอเพียงที่จะหาจำนวนดังกล่าว # B #มีอยู่สำหรับแต่ละคน # A #. นอกจากนี้โปรดทราบว่า # A # แบ่ง # 10b # ถ้าเพียง แต่ถ้าแต่ละปัจจัยสำคัญของ # A # ยังเป็นปัจจัยสำคัญของ # 10b # มีหลายหลากที่เหมาะสม

สิ่งที่เหลืออยู่คือต้องผ่านแต่ละคน # A #.

#a = 1 #: เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดหารด้วย #1#ทั้งสี่ค่าสำหรับ # B # งาน.

A = # 2 #: เช่น #10# หารด้วย #2#ทั้งสี่ค่าสำหรับ # B # งาน.

A = # 3 #: เช่น #10# ไม่สามารถหารด้วย #3#เราต้องมี # B # ถูกหารด้วย #3#, นั่นคือ, # B = 3 #.

A = # 4 #: เช่น #10# หารด้วย #2#เราต้องมี # B # ตามที่หารด้วย #2# มีหลายหลากที่เหมาะสม ดังนั้น, # B = 2 # หรือ # B = 4 #.

# A = 5 #: เช่น #10# หารด้วย #5#ทั้งสี่ค่าสำหรับ # B # งาน.

A = # 6 #: เช่น #10# หารด้วย #2#เราต้องมี # B # ตามที่หารด้วย #3#, นั่นคือ, # B = 3 #.

A = # 7 #: เช่น #10# ไม่สามารถหารด้วย #7#เราต้องมี # B # ตามที่หารด้วย #7#. แต่ รุ่น B ประเภทสิทธิ <5 #และไม่มีค่าสำหรับ # B # โรงงาน

# A = 8 #: เช่น #10# หารด้วย #2#เราต้องมี # B # ตามที่หารด้วย #4#, นั่นคือ, # B = 4 #

A = # 9: # เช่น #10# ไม่สามารถหารด้วย #3#เราต้องมี # B # ตามที่หารด้วย #3^2#. แต่ รุ่น B ประเภทสิทธิ <5 #และไม่มีค่าสำหรับ # B # โรงงาน

นี่เป็นการสรุปแต่ละกรณีดังนั้นเมื่อรวมกันเราจะได้รับดังที่สรุปไว้ในคำถาม #17# ค่า อย่างไรก็ตามวิธีนี้สามารถขยายไปสู่ค่าที่มากขึ้นได้อย่างง่ายดาย ตัวอย่างเช่นถ้าเราต้องการที่จะไปจาก #10# ไปยัง #1000#เราจะ จำกัด # 1 <= b <100 #. จากนั้นดูที่ A = # 6 #พูดว่าเราจะได้ #2# แบ่ง #10# และดังนั้น #6# แบ่ง # 10b # ถ้าและเพียงถ้า #3# แบ่ง # B #. มี #33# ทวีคูณของ #3# ในช่วงสำหรับ # B #และดังนั้น #33# ตัวเลขที่ลงท้ายด้วย #6# และหารด้วย #6# ระหว่าง #10# และ #1000#.

ในการคำนวณโน้ตที่สั้นกว่าและง่ายกว่าโดยใช้การสังเกตด้านบนเราสามารถเขียนจำนวนเต็มระหว่าง #10# และ # # 10k เช่น

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

'L แปรเปลี่ยนร่วมกันเป็น a และรากที่สองของ b และ L = 72 เมื่อ a = 8 และ b = 9. ค้นหา L เมื่อ a = 1/2 และ b = 36? Y แปรเปลี่ยนร่วมกันเป็นลูกบาศก์ของ x และรากที่สองของ w และ Y = 128 เมื่อ x = 2 และ w = 16 ค้นหา Y เมื่อ x = 1/2 และ w = 64?

L = 9 "และ" y = 4> "คำสั่งเริ่มต้นคือ" Lpropasqrtb "เพื่อแปลงเป็นสมการคูณด้วย k ค่าคงที่" "ของรูปแบบ" rArrL = kasqrtb "เพื่อหา k ใช้เงื่อนไขที่กำหนด" L = 72 " "a = 8" และ "b = 9 L = kasqrtbrArrk = L / (asqrtb) = 72 / (8xxsqrt9) = 72/24 = 3" สมการคือ "สี (แดง) (แถบ (ul (| สี (สีขาว)) 2/2) สี (ดำ) (L = 3asqrtb) สี (ขาว) (2/2) |))) "เมื่อ" a = 1/2 "และ" b = 36 "L = 3xx1 / 2xxsqrt36 = 3xx1 / 2xx6 = 9 สี (สีน้ำเงิน) "------------------------------------------- ------------ "" ในทำนองเดียวกัน "y = kx ^

รูปสามเหลี่ยมมีด้าน A, B และ C ด้าน A และ B มีความยาว 10 และ 8 ตามลำดับ มุมระหว่าง A และ C คือ (13pi) / 24 และมุมระหว่าง B และ C คือ (pi) 24 พื้นที่ของสามเหลี่ยมคืออะไร?

เนื่องจากมุมสามเหลี่ยมเพิ่มใน pi เราสามารถหามุมระหว่างด้านที่กำหนดและสูตรพื้นที่ให้ A = frac 1 2 a b sin C = 10 (sqrt {2} + sqrt {6}) มันจะช่วยถ้าเรายึดหลักการของตัวอักษรตัวเล็ก a, b, c และอักษรตัวใหญ่ตรงข้ามจุด A, B, C มาทำกันที่นี่ พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ A = 1/2 a b sin C โดยที่ C คือมุมระหว่าง a และ b เรามี B = frac {13 pi} {24} และ (คาดเดาว่าเป็นคำสะกดผิดในคำถาม) A = pi / 24 เนื่องจากมุมสามเหลี่ยมเพิ่มขึ้นถึง 180 ^ circ aka pi เราได้ C = pi - pi / 24 - frac {13 pi} {24} = frac {10 pi} {24} = frac {5pi} { 12} frac {5pi} {12} คือ 75 ^ circ เราได้ไซน์ด้วยสูตรมุมรวม: sin 75 ^ circ = sin (30 +45) = sin 30 cos 45 + cos 3

รูปสามเหลี่ยมมีด้าน A, B และ C ด้าน A และ B มีความยาว 3 และ 5 ตามลำดับ มุมระหว่าง A และ C คือ (13pi) / 24 และมุมระหว่าง B และ C คือ (7pi) / 24 พื้นที่ของสามเหลี่ยมคืออะไร?

โดยการใช้กฎ 3 ข้อ: ผลรวมของมุมกฎของโคไซน์สูตรของเฮรอนพื้นที่คือ 3.75 กฎของโคไซน์สำหรับด้าน C ระบุ: C ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2-2 * A * B * cos (c) หรือ C = sqrt (A ^ 2 + B ^ 2-2 * A * B * cos (c)) โดยที่ 'c' คือมุมระหว่างด้าน A และ B ซึ่งสามารถพบได้โดยรู้ว่าผลรวมขององศาทั้งหมด เท่ากับ 180 หรือในกรณีนี้การพูดใน rads ads: a + b + c = π c = π-bc = π-13 / 24π-7 / 24π = 24 / 24π-13 / 24π-7 / 24π = (24-13-7) / 24π = 4 / 24π = π / 6 c = π / 6 เมื่อทราบมุม c แล้วด้าน C สามารถคำนวณได้: C = sqrt (3 ^ 2 + 5 ^ 2-2 * 3 * 5 * cos (π / 6)) = sqrt (9 + 25-30 * sqrt (3) / 2) = 8.019 C = 2.8318 สูตรของนกกระสาคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมใด ๆ