คำนวณ sum_ (n = 0) ^ oo sqrt (n + 3) + sqrtn-2sqrt (n + 2)?

ตอบ:

Telescoping Series 1

คำอธิบาย:

#Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n)) #

#Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1))) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n))))

#Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n))))

นี่คือซีรีส์ยุบ (เหลื่อม)

เทอมแรกคือ

# -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2 #.

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

สิ่งนี้เทียบเท่า

#sum_ (n = 3) ^ oo sqrtn + sum_ (n = 1) ^ oo sqrtn - 2 sum_ (n = 2) ^ oo sqrtn = 1-sqrt2 #

แสดงว่า 1 + 1 / sqrt2 + cdots + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) สำหรับ n> 1?

ด้านล่างเพื่อแสดงว่าความไม่เท่าเทียมเป็นจริงคุณใช้การเหนี่ยวนำทางคณิตศาสตร์ 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) สำหรับ n> 1 ขั้นตอนที่ 1: พิสูจน์จริงสำหรับ n = 2 LHS = 1 + 1 / sqrt2 RHS = sqrt2 (2-1) = sqrt2 ตั้งแต่ 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 จากนั้น LHS> RHS ดังนั้นจึงเป็นจริงสำหรับ n = 2 ขั้นตอนที่ 2: สมมติว่าเป็นจริงสำหรับ n = k โดยที่ k เป็นจำนวนเต็มและ k> 1 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) --- (1) ขั้นตอนที่ 3: เมื่อ n = k + 1, RTP: 1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) เช่น 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + ... + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) RHS =

ความยาวด้านของสามเหลี่ยมเฉียบพลันคือ sqrtn, sqrt (n + 1) และ sqrt (n + 2) คุณหาได้อย่างไร

หากสามเหลี่ยมเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากแล้วสี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านที่ใหญ่ที่สุดจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านที่เล็กกว่า แต่สามเหลี่ยมนั้นเป็นมุมฉากอันหนึ่ง สี่เหลี่ยมจัตุรัสของด้านที่ใหญ่ที่สุดน้อยกว่าผลรวมของกำลังสองของด้านที่เล็กกว่า ดังนั้น (sqrt (n + 2)) ^ 2 <(sqrtn) ^ 2 + (sqrt (n + 1)) ^ 2 => n + 2 <n + n + 1 => n> 1