คุณจะตัดสินได้อย่างไรว่าอินทิกรัลรวมที่ไม่เหมาะสมมาบรรจบกันหรือเบี่ยงเบน int 1 / [sqrt x] จาก 0 ถึงอินฟินิตี้?

ตอบ:

ส่วนประกอบสำคัญ

คำอธิบาย:

เราสามารถใช้การทดสอบเปรียบเทียบสำหรับอินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม แต่ในกรณีนี้อินทิกรัลนั้นง่ายมากที่จะประเมินว่าเราสามารถคำนวณได้และดูว่าค่านั้นถูก จำกัด ขอบเขตหรือไม่

# int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = 2sqrtx _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) = OO #

นั่นหมายความว่าอินทิกรัลผันแปร

การใช้คำจำกัดความของการคอนเวอร์เจนซ์คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าลำดับ {5+ (1 / n)} มาบรรจบกันจาก n = 1 ถึงอินฟินิตี้

อนุญาต: a_n = 5 + 1 / n ดังนั้นสำหรับ m, n ใน NN ด้วย n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) เป็น n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n และเป็น 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m ระบุ epsilon จำนวนจริงใด ๆ > 0 แล้วเลือกจำนวนเต็ม N> 1 / epsilon สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ m, n> N เรามี: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon ซึ่งพิสูจน์เงื่อนไขของ Cauchy สำหรับการบรรจบกันของลำดับ

การใช้คำจำกัดความของการคอนเวอร์เจนซ์คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าลำดับ {2 ^ -n} มาบรรจบกันจาก n = 1 ถึงอินฟินิตี้

ใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพื่อกำหนด N เช่น | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon สำหรับทุก m, n> N นิยามของคอนเวอร์เจนซ์ระบุว่า {a_n} ลู่เข้าหากัน: AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon ดังนั้น epsilon ที่กำหนด> 0 take N> log_2 (1 / epsilon) และ m, n> N กับ m <n เป็น m <n, (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 ดังนั้น | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1-2 ^ (mn)) ตอนนี้เป็น 2 ^ x อยู่เสมอ บวก (1- 2 ^ (mn)) <1 ดังนั้น 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) และเป็น 2 ^ (- x) จะลดลงอย่างเคร่งครัดและ m> N &g

(sqrt (5+) sqrt (3)) / (sqrt (3+) sqrt (3+) sqrt (5)) - (sqrt (5-) sqrt (3)) / (sqrt (3+) sqrt (3-) sqrt (5))

2/7 เราใช้เวลา A = (sqrt5 + sqrt3) / (sqrt3 + sqrt3 + sqrt5) - (sqrt5-sqrt3) / (sqrt3 + sqrt3-sqrt5) = (sqrt5 + sqrt3) / (2sqrt3 + sqrt5) - (sq5 -sqrt3) / (2sqrt3-sqrt5) = (sqrt5 + sqrt3) / (2sqrt3 + sqrt5) - (sqrt5-sqrt3) / (2sqrt3-sqrt5) = ((sqrt5 + sqrt3) (2sqrt3-sqrt5) ) (2sqrt3 + sqrt5)) / ((2sqrt3 + sqrt5) (2sqrt3-sqrt5) = ((2sqrt15-5 + 2 * 3-sqrt15) - (2sqrt15 + 5-2 * 3-sqrt15) (/ 2sqrt3 + sqrt5) ^ 2- (sqrt5) ^ 2) = (ยกเลิก (2sqrt15) -5 + 2 * 3cancel (-sqrt15) - ยกเลิก (2sqrt15) -5 + 2 * 3 + ยกเลิก (sqrt15)) / (12-5) = ( -10 + 12) / 7 = 2/7 โปรดทราบว่าหากในตัวหารคือ (sqrt3 + sqrt (3 + sqrt5)) และ (sqrt3 + sqrt (3-sq