การใช้คำจำกัดความของการคอนเวอร์เจนซ์คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าลำดับ {5+ (1 / n)} มาบรรจบกันจาก n = 1 ถึงอินฟินิตี้

ปล่อย:

#a_n = 5 + 1 / n #

จากนั้นสำหรับใด ๆ # m, n ใน NN # กับ #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

เช่น #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

และเป็น # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

รับจำนวนจริงใด ๆ #epsilon> 0 #เลือกจำนวนเต็ม #N> 1 / epsilon #.

สำหรับจำนวนเต็มใด ๆ # m, n> N # เรามี:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

ซึ่งพิสูจน์เงื่อนไขของ Cauchy สำหรับการบรรจบกันของลำดับ