การใช้คำจำกัดความของการคอนเวอร์เจนซ์คุณจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าลำดับ {2 ^ -n} มาบรรจบกันจาก n = 1 ถึงอินฟินิตี้

ตอบ:

ใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังเพื่อกำหนด N เช่น # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- เมตร) | <epsilon # สำหรับทุกคน # m, n> N #

คำอธิบาย:

คำจำกัดความของคอนเวอร์เจนซ์ระบุว่า # {} # a_n มาบรรจบกันถ้า:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

ดังนั้นได้รับ #epsilon> 0 # เอา #N> log_2 (1 / epsilon) # และ # m, n> N # กับ #m <n #

เช่น #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # ดังนั้น # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

ตอนนี้เป็น # 2 ^ x # เป็นบวกเสมอ # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #ดังนั้น

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

และเป็น # 2 ^ (- x) # ลดลงอย่างเคร่งครัดและ #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

แต่:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

ดังนั้น:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Q.E.D.