Extrema ท้องถิ่นคืออะไรถ้ามีของ f (x) = (lnx) ^ 2 / x?

ตอบ:

มีขั้นต่ำของท้องถิ่น #0# ที่ #1#. (ซึ่งเป็นระดับโลกด้วย) และสูงสุดในท้องถิ่นของ # 4 / E ^ 2 # ที่ # อี ^ 2 #.

คำอธิบาย:

สำหรับ #f (x) = (lnx) ^ 2 / x #โปรดทราบก่อนว่าโดเมนของ # F # เป็นจำนวนจริงบวก # (0, OO) #.

จากนั้นหา

#f '(x) = (2 (lnx) (1 / x) * x - (lnx) ^ 2 1) / x ^ 2 #

# = (lnx (2-lnx)) / x ^ 2 #.

# ฉ '# ไม่ได้กำหนดไว้ที่ # x = 0 # ซึ่งไม่อยู่ในโดเมนของ # F #ดังนั้นจึงไม่ใช่หมายเลขที่สำคัญสำหรับ # F #.

# f (x) = 0 # ที่ไหน

# LNX = 0 # # # หรือ # # # 2 LNX = 0 #

# x = 1 # # # หรือ # # # x = E ^ 2 #

ทดสอบช่วงเวลา #(0,1)#, # (1, E ^ 2) #และ # (จ ^ 2, OO) #.

(สำหรับหมายเลขทดสอบฉันแนะนำ # e ^ -1, e ^ 1, e ^ 3 # -- จำ # 1 = E ^ 0 # และ # อี ^ x # กำลังเพิ่มขึ้น.)

เราพบว่า # ฉ '# การเปลี่ยนแปลงจากเชิงลบเป็นบวกในขณะที่เราผ่าน #1#ดังนั้น # f (1) = 0 # เป็นขั้นต่ำของท้องถิ่น

และนั่น # ฉ '# เปลี่ยนจากบวกเป็นลบเมื่อเราผ่านไป # อี ^ 2 #ดังนั้น # f (จ ^ 2) = 4 / E ^ 2 # เป็นค่าสูงสุดในท้องถิ่น