Extrema ท้องถิ่นคืออะไรถ้ามีของ f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

ตอบ:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # มีขั้นต่ำในท้องถิ่นสำหรับ # x = 1 # และสูงสุดในท้องถิ่นสำหรับ # x = 3 #

คำอธิบาย:

เรามี:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ในทั้งหมดของ # RR # เช่น # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

เราสามารถระบุจุดวิกฤติโดยการค้นหาว่าอนุพันธ์อันดับแรกเท่ากับศูนย์:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

ดังนั้นจุดวิกฤติคือ:

# x_1 = 1 # และ # x_2 = 3 #

เนื่องจากตัวส่วนเป็นบวกเสมอสัญญาณของ # f (x) # ตรงข้ามกับเครื่องหมายของตัวเศษ # (x ^ 2-4x + 3) #

ตอนนี้เรารู้แล้วว่าพหุนามอันดับที่สองที่มีสัมประสิทธิ์นำเชิงบวกเป็นบวกนอกช่วงเวลานั้นประกอบด้วยระหว่างรากกับลบในช่วงระหว่างรากดังนั้น:

#f '(x) <0 # สำหรับ #x ใน (-oo, 1) # และ #x ใน (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # สำหรับ #x ใน (1,3) #

เรามีสิ่งนั้น # f (x) # กำลังลดลง # (- oo, 1) #เพิ่มขึ้นใน #(1,3)#และลดลงอีกครั้งใน # (3 + OO) #, ดังนั้น # x_1 = 1 # จะต้องเป็นขั้นต่ำในท้องถิ่นและ # x_2 = 3 # ต้องมีค่าสูงสุดในท้องถิ่น

กราฟ {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1.42, 8.58, -0.08, 4.92}