Extrema ท้องถิ่นคืออะไรถ้ามีของ f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x

ตอบ:

อาการปวดหัวอย่างเดียวคือ # x = 0.90322 … #ฟังก์ชั่นขั้นต่ำ

แต่คุณต้องแก้สมการลูกบาศก์เพื่อไปที่นั่นและคำตอบนั้นไม่ 'ดี' เลย - คุณแน่ใจหรือไม่ว่าคำถามถูกพิมพ์อย่างถูกต้อง? ฉันยังได้รวมคำแนะนำสำหรับวิธีการเข้าถึงคำตอบโดยไม่ต้องไปสู่จำนวนการวิเคราะห์ที่แสดงด้านล่างอย่างสมบูรณ์

คำอธิบาย:

1. วิธีการมาตรฐานชี้เราไปในทิศทางที่ลำบาก

อันดับแรกคำนวณอนุพันธ์:

# f (x) = (4x-3) ^ 2 (x-4) / x #

ดังนั้น (ตามกฎโซ่และความฉลาดทาง)

# f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (เอกซ์ (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 #

จากนั้นตั้งค่านี้เท่ากับ 0 และแก้หา # x #:

# 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ ^ 3-24x 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

เรามีสมการลูกบาศก์ซึ่งแก้ได้โดยอนุมูล แต่นี่มันไกลจากกระบวนการง่ายๆ เรารู้ว่าสมการนี้โดยทั่วไปจะมีสามรูท แต่ไม่ใช่ว่าพวกเขาทั้งหมดจะเป็นจริงแม้ว่าอย่างน้อยหนึ่งในนั้นจะเป็น - อย่างน้อยหนึ่งเราจะรู้ได้จากทฤษฎีค่ากลาง - http: // en wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - ซึ่งบอกเราว่าเนื่องจากฟังก์ชันไปที่อนันต์ที่ปลายด้านหนึ่งและลบอนันต์ที่อีกดังนั้นต้องใช้ค่าทั้งหมดในระหว่างจุดหนึ่งหรืออีก

การทดลองค่าง่าย ๆ สองสามอย่าง (1 มักจะเป็นค่าที่ให้ข้อมูลและรวดเร็วในการลอง) เราจะเห็นว่ามีรูตอยู่ระหว่าง 1/2 ถึง 1 แต่เราไม่พบวิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจนในการทำให้สมการง่ายขึ้น การแก้สมการลูกบาศก์เป็นกระบวนการที่ยาวและน่าเบื่อ (ซึ่งเราจะทำด้านล่าง) ดังนั้นจึงเป็นเรื่องคุ้มค่าที่จะพยายามแจ้งสัญชาติญาณของตนก่อนที่จะทำเช่นนั้น การทดลองแก้ปัญหาเพิ่มเติมนั้นเราพบว่าอยู่ระหว่าง 0.9 และ 0.91

2. แก้ปัญหาที่ทำให้เข้าใจง่าย

ฟังก์ชั่นประกอบด้วยความแตกต่างของคำสองคำ # F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # และ # F_2 (x) = (x-4) / x #. สำหรับช่วงของ # x #ครั้งแรกของสิ่งเหล่านี้จะมีอิทธิพลอย่างมากในระยะที่สองจะใกล้เคียงกับ 1 สำหรับค่าทั้งหมดของ # x # ห่างจากค่าเล็ก ๆ ให้เราถามว่าคำสองคำนี้ทำงานอย่างไร

ระยะแรก, # F_1 #

# F_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# F_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

ตั้งค่านี้ให้เท่ากับศูนย์: # x = 4/3 #. นี่อยู่ในขอบเขตของศูนย์ของฟังก์ชันที่เราพบ แต่มันไม่ใกล้เคียงกับมันมากนัก

# f (1) # เป็นรูปโค้งใน # x #หนึ่งที่สัมผัสกับ # x # แกนที่ # x = 4/3 #. อนุพันธ์ของมันคือเส้นตรงที่ชันชันของการไล่ระดับสี 32 ที่ข้ามแกน x ในจุดเดียวกัน

ภาคเรียนที่สอง # F_2 #

# F_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# F_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

ตั้งค่านี้ให้เท่ากับศูนย์: ไม่มีวิธีแก้ปัญหา # x #. ดังนั้น # F_2 # ไม่มี extrema เป็นฟังก์ชันในตัวเอง อย่างไรก็ตามมันมีจุดที่มันจะระเบิดขึ้นอย่างไม่มีที่สิ้นสุด: # x = 0 #. มันจะไปที่อนันต์บวกเมื่อมันเข้าใกล้ 0 จากด้านลบและไปยังอนันต์ลบเมื่อมันเข้าหา 0 จากด้านบวก ห่างจากจุดนี้เส้นโค้งจะมีค่าเป็น 1 ทั้งสองด้าน # F_2 # เป็นไฮเปอร์โบลาที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ # (x, y) = (0,1) #. อนุพันธ์ของมันคือเส้นโค้งเป็นสองชิ้นสำหรับลบและบวก # x #. มันไปที่อนันต์บวกจากทั้งสองทิศทางที่ # x = 0 # และเป็นบวกเสมอ

สังเกตได้ว่า # F_1 ^ '(x) <0 # เพื่อทุกสิ่ง # x <0 #. จะไม่มีทางแยกของ # F_1 ^ '# และ # F_2 ^ '# ในเชิงลบ # x # แกน. มากกว่าบวก # x # แกนจะต้องมีจุดตัดเดียวหนึ่งเส้น - เส้นโค้งหนึ่งเส้นจากน้อยกว่า 0 ถึงอินฟินิตี้เป็น # x # ทำเช่นเดียวกันในขณะที่อีกอันจากอนันต์เป็น 0 โดยการใช้ทฤษฎีบทค่ากลาง (ดูด้านบน) พวกเขาจะต้องข้ามหนึ่งครั้ง

ดังนั้นตอนนี้เรามั่นใจแล้วว่าเรากำลังมองหาทางออกเพียงอย่างเดียว แต่เราไม่มีคำตอบที่ดี

3. ตัวเลขโดยประมาณคำตอบ

ในสถานการณ์ระดับมืออาชีพที่ต้องการการแก้ไขปัญหาประเภทนี้มักจะเป็นวิธีที่รวดเร็วที่สุดในการไปยังจุดที่คุณต้องการคือการดำเนินการประมาณค่าเชิงตัวเลข สิ่งที่ดีสำหรับการค้นหารากของฟังก์ชันคือวิธีการของ Newton-Raphson (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method)

ซึ่งคือ: เพื่อค้นหารูทของฟังก์ชัน # F #ก่อนอื่นให้เดา # x_0 # ที่รากแล้ววนซ้ำและกลมตามสูตรนี้:

# x_1 = x_0-f (x_0) / (ฉ '(x_0)) #

# x_1 # เป็นการเดาที่ดีกว่า # x_0 #และเพียงแค่ทำซ้ำสิ่งนี้จนกว่าจะถึงความแม่นยำที่ต้องการ

ระลึกถึงฟังก์ชั่นและอนุพันธ์ของเรา:

# f (x) = (4x-3) ^ 2 (x-4) / x #

# f (x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

ดังนั้นเราอาจเดาได้ว่า 0.5 เป็นรากของเราทำ # x_0 = 0.5 #, # f (x_0) = 8 #, # f '(x_0) = - 24 #. ดังนั้น # F_1 = 0.5 + 24/8 = 0.5 + 3/1 = 0.8333 …. #แน่นอนคำตอบที่ใกล้ชิด การทำซ้ำนำเราไปสู่ค่าประมาณ 0.9 ที่กล่าวถึงข้างต้น

ดังนั้นเราสามารถหาคำตอบด้วยความแม่นยำโดยพลการ แต่คำตอบแบบเต็มต้องการโซลูชันการวิเคราะห์สิ่งที่เรากล่าวไว้ข้างต้นจะยาก ดังนั้นที่นี่เราไป …

4. แก้ปัญหาอย่างช้าๆและเจ็บปวด

ทีนี้ลองแก้ปัญหาลูกบาศก์แบบเต็ม (คุณจะต้องรักพีชคณิตเพื่อแก้ปัญหานี้อย่างถูกต้อง):

ก่อนอื่นให้หารเพื่อทำให้เทอมนำมีค่าสัมประสิทธิ์ 1:

# 8x ^ ^ 3-6x 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

ประการที่สองทำการทดแทนต่อไปนี้เพื่อตัวแปร # Y # เพื่อลบ # x ^ 2 # ระยะ:

แทน # x + y = 4/1 #. โดยทั่วไปสำหรับสมการของแบบฟอร์ม # ขวาน ^ 3 + BX ^ 2 + cx + d = 0 #หนึ่งจะทดแทน # x = Y-b / (3A) #. หากคุณทำงานผ่านพีชคณิตคุณจะเห็นว่านี่เป็นสาเหตุของ # x ^ 2 # คำที่หายไป ในกรณีนี้เราได้รับ:

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(ขยายวงเล็บ, จดจำความทรงจำของทวินาม:

# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 / 8 = 0 #

(ขอให้สังเกตว่าทั้งสอง # Y ^ 2 # ยกเลิกเงื่อนไขอย่างแน่นอน)

# Y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

ตอนนี้เรามีคำศัพท์จำนวนเท่ากันกับที่เคยทำมาก่อนเพราะก่อนหน้านี้เราไม่มี # Y # วาระ การสูญเสีย # Y ^ 2 # คำศัพท์เป็นกำไรทางคณิตศาสตร์สัญญา!

ประการที่สามทำการทดแทนอื่น (การทดแทนของเวียตนาม: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html) เพื่อเปลี่ยนให้เป็นสมการกำลังสอง:

แทน # การ y = W + 1 / (16w) #. โดยทั่วไปสำหรับสมการของแบบฟอร์ม # Y ^ 3 + PY = Q #การทดแทนนี้คือ # การ y = W-P / (3w) #.

# Y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

# (w + 1 / (16w)) ^ 3-3 / 16 (w + 1 / (16w)) = 5/32 #

# W ^ 3 + 3 / 16W + 3 / (256w) + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16w-3 / 256w = 5/32 #

ขอให้สังเกตว่าทั้งคู่ # W # และ # 1 / W # ยกเลิกเงื่อนไขอย่างแน่นอน)

# W ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #

# W ^ 6-5 / 32W ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(ตอนนี้คุณอาจถามสิ่งที่อยู่บนโลกนี้เพื่อประโยชน์ของสิ่งนี้คือ - เราได้เล่นกับสมการระดับ 3 ของเราจนกว่าเราจะมีสมการระดับ 6 แล้วสูญเสียแน่นอน … แต่ตอนนี้เราสามารถคิดว่ามันเป็นสมการกำลังสอง ใน # W ^ 3 #และเราสามารถแก้สมการกำลังสอง …)

ประการที่สี่แก้สมการกำลังสองสำหรับ # W ^ 3 #

# W ^ 6-5 / 32W ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (w ^ 3) ^ 2-5 / 32 (w ^ 3) + 1/4096 = 0 #

ใช้สมการกำลังสอง:

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32) / 2 #

# w ^ 3 = (5 + -sqrt (24)) / 64 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

เรามีคำตอบ! ตอนนี้เราต้องเชื่อมโยงมันกลับไปที่ตัวแปรดั้งเดิมของเรา # x #.

ประการที่ห้าเปลี่ยนกลับไปเป็นคำดั้งเดิมของเรา

# w ^ 3 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

รับรูทคิวบ์:

#w = (5 + -2sqrt (6)) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

จำได้ว่าเราเกี่ยวข้องกันอย่างไร # Y # ไปยัง # W # ก่อนหน้านี้: # การ y = W + 1 / (16w) #

# y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

ตอนนี้ # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / ((5 + -2sqrt (6)) (- 5 + -2sqrt (6)) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #

(เสวนาไม่ได้เสนอตรงข้ามลบ - บวกลบบวกดังนั้นเราต้องเขียนแบบนี้)

ดังนั้น

# y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

หากเราคูณเครื่องหมายลบในเทอมใหญ่ที่สองเราจะเห็นว่าเราได้นิพจน์ที่เหมือนกันสองครั้งดังนั้นเราสามารถวางเครื่องหมายกำลังสองบวก / ลบได้และทำให้ง่ายขึ้น

# การ y = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

ในที่สุด (!) จำได้ว่าเราตั้ง # x + y = 4/1 #.

ดังนั้น

# x = (1 + 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

หกหักจำนวนรากเหล่านี้เป็นของจริง

สองนิพจน์ในรูตคิวบ์แต่ละรูตมีหนึ่งรูทจริงและรูตจินตภาพคอนจูเกต จำนวนจริง # A # มีสามคิวบ์รูต # a ^ (1/3) #, # a ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# a ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #. ตอนนี้เรารู้แล้วว่านิพจน์ทั้งสองในรูทคิวบ์นั้นเป็นค่าบวก # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #) และส่วนประกอบจินตภาพในค่าที่สองและสามสำหรับ # x # ไม่สามารถรวมเป็นศูนย์ได้

ข้อสรุป

ดังนั้นจึงมีรากที่แท้จริงเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น # x # (ตามที่เราสรุปไว้ข้างต้นโดยการวิเคราะห์ที่ง่ายกว่า) และด้วยเหตุนี้จึงมีเพียงหนึ่งจุดบนสุดของเส้นโค้งที่คุณถามเกี่ยวกับโดยการแสดงออก

# x = (1 + 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

หรือเป็นทศนิยม

# x = 0.90322 … #

เราสามารถอนุมานได้ว่านี่เป็นฟังก์ชันขั้นต่ำโดยความจริงที่ว่ามีเพียงหนึ่ง extremum และฟังก์ชั่นมีแนวโน้มที่จะไม่มีที่สิ้นสุดบวกที่ปลายทั้งสอง