ลูกบอลถูกหล่นตรงจากความสูง 12 ฟุต เมื่อกระทบพื้นดินมันจะกระเด้งกลับมา 1/3 ของระยะทางที่มันตกลงมา ลูกบอลจะเดินทางไกลแค่ไหน (ทั้งขึ้นและลง) ก่อนที่จะหยุดพัก

ตอบ:

ลูกบอลจะเดินทาง 24 ฟุต

คำอธิบาย:

ปัญหานี้ต้องมีการพิจารณาชุดอนันต์ พิจารณาพฤติกรรมที่แท้จริงของลูกบอล:

ก่อนลูกบอลตกลงมา 12 ฟุต

ลูกบอลกระดอนต่อไป #12/3 = 4# ฟุต

ลูกบอลตกลงมา 4 ฟุต

ในการตีกลับแต่ละครั้งลูกบอลจะเคลื่อนที่

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # เท้าที่ไหน # n # คือจำนวนการตีกลับ

ดังนั้นถ้าเราจินตนาการว่าลูกบอลเริ่มต้นจาก #n = 0 #จากนั้นคำตอบของเราสามารถได้รับจากชุดเรขาคณิต:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

หมายเหตุ #-12# คำแก้ไขนี้เป็นเพราะถ้าเราเริ่มต้นจาก # n = 0 # เรากำลังนับการตีกลับที่ 0 จาก 12 ฟุตขึ้นไปและ 12 ฟุตลง ในความเป็นจริงลูกบอลเดินทางเพียงครึ่งเดียวเมื่อเริ่มกลางเวหา

เราสามารถลดความซับซ้อนของผลรวมของเราเป็น:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

นี่เป็นเพียงชุดเรขาคณิตที่เรียบง่ายซึ่งเป็นไปตามกฎที่:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

ตราบเท่าที # | R | <1 #

นี่เป็นวิธีการแก้ปัญหาที่ง่ายสำหรับปัญหาของเรา:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# ฟุต