วิธีการคำนวณผลรวมของสิ่งนี้? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

ตอบ:

ดูด้านล่าง

คำอธิบาย:

พิจารณา #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

แต่ # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # และ

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # แล้วก็

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

ตอบ:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # เมื่อ # | x | <1 #

คำอธิบาย:

เราเริ่มต้นด้วยการเขียนสัมประสิทธิ์บางอย่าง:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

สิ่งแรกที่เราต้องการดูคือสัมประสิทธิ์ (ระดับของ # x # สามารถปรับได้ค่อนข้างง่ายโดยการคูณและหารซีรีย์ด้วย # x #ดังนั้นมันจึงไม่สำคัญ) เราเห็นว่าพวกเขาทั้งหมดเป็นทวีคูณของสองคนดังนั้นเราจึงสามารถดึงเอาปัจจัยสอง:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ ^ 4-10x 5 …) #

สัมประสิทธิ์ภายในวงเล็บนี้สามารถรับรู้ได้ว่าเป็นอนุกรมทวินามที่มีกำลัง # อัลฟา = -3 #:

# (1 + x) ^ อัลฟา = 1 + ALPHAX + (อัลฟา (alpha-1)) / (2) x ^ 2 + (อัลฟา (alpha-1) (alpha-2)) / (3) x ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

เราสังเกตว่าเลขชี้กำลังของคำทั้งหมดในวงเล็บนั้นใหญ่กว่าสองเมื่อเทียบกับซีรีส์ที่เราเพิ่งได้มาดังนั้นเราต้องคูณ # x ^ 2 # เพื่อรับซีรีส์ที่ถูกต้อง:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ ^ 4-20x 5 … #

ซึ่งหมายความว่าซีรี่ส์ของเราคือ (เมื่อบรรจบกัน) เท่ากับ:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

เพียงเพื่อยืนยันว่าเราไม่ได้ทำผิดพลาดเราสามารถใช้ Binomial Series ในการคำนวณซีรี่ส์สำหรับ # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2) x ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3) x ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4) / (2 * 2!) x ^ 2 (5) / (2 * 3) x ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2 (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

เราสามารถอธิบายรูปแบบนี้ได้เช่น:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

เนื่องจากเทอมแรกเป็นเพียงแค่ #0#เราสามารถเขียน:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

ซึ่งเป็นซีรีย์ที่เราเริ่มต้นด้วยการตรวจสอบผลลัพธ์ของเรา

ตอนนี้เราแค่ต้องหาช่วงเวลาของการลู่เข้าเพื่อดูว่าเมื่อใดที่อนุกรมมีค่าจริง เราสามารถทำได้โดยดูที่เงื่อนไขการลู่เข้าของอนุกรมทวินามและพบว่าอนุกรมบรรจบกันเมื่อใด # | x | <1 #

คำนวณ sum_ (n = 0) ^ oo sqrt (n + 3) + sqrtn-2sqrt (n + 2)?

Telescoping ซีรี่ส์ 1 Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n )) Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1) )) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n))) Sigma (1) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) นี่คือซีรีส์ที่ยุบ (เหลื่อม) เทอมแรกคือ -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2

ช่วงเวลาของการลู่เข้าของ sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n คืออะไร?

ดูด้านล่าง ใช้เอกลักษณ์พหุนาม (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) เรามี abs x <1 lim_ (n-> oo) ( x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) จากนั้นสำหรับ x ne k pi, k ใน ZZ เรามี sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = 1 / (1-cos x)

ช่วงเวลาของการลู่เข้าของ sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n คืออะไร? และผลรวมใน x = 3 คืออะไร?

] -oo, -4 ["U"] 5, oo ["เป็นช่วงเวลาของการลู่เข้าสำหรับ x" "x = 3 ไม่ได้อยู่ในช่วงเวลาของการลู่เข้าดังนั้นจำนวนรวมของ x = 3 คือ" oo " มันเป็นชุดรูปทรงเรขาคณิตโดยการแทนที่ "" z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) "จากนั้นเรามี" sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "สำหรับ" | z | <1 "ดังนั้นช่วงเวลาของการลู่เข้าคือ" -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 => 1/2 <(x + 1) / (x-2) < 2 => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "หรือ" (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 ลบ)" "กรณีที่เป็นบวก:" => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) => 0 &