Circle A มีศูนย์ที่ (3, 5) และพื้นที่ 78 pi Circle B มีศูนย์ที่ (1, 2) และพื้นที่ 54 pi วงกลมซ้อนกันหรือไม่

ตอบ:

ใช่

คำอธิบาย:

อันดับแรกเราต้องการระยะห่างระหว่างสองศูนย์ซึ่งก็คือ # D = sqrt ((deltaX) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) #

# D = sqrt ((5-2) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2) = sqrt (9 + 4) = sqrt (13) = 3.61 #

ตอนนี้เราต้องการผลรวมของรัศมีตั้งแต่:

#D> (r_1 + r_2); "วงกลมไม่ทับซ้อนกัน" #

# D = (r_1 + r_2); "วงกลมเพียงแตะ" #

#D <(r_1 + r_2); "วงกลมซ้อนกัน" #

# pir_1 "" ^ 2 = 78pi #

# r_1 "" ^ 2 = 78 #

# r_1 = sqrt78 #

# pir_2 "" ^ 2 = 54pi #

# r_2 "" ^ 2 = 54 #

# r_2 = sqrt54 #

# sqrt78 + sqrt54 = 16.2 #

#16.2>3.61#ดังนั้นวงกลมจึงทับซ้อนกัน

พิสูจน์:

กราฟ {((x-3) ^ 2 + (y-5) ^ 2-54) ((x-1) ^ 2 + (y-2) ^ 2-78) = 0 -20.33, 19.67, -7.36, 12.64}

ตอบ:

เหล่านี้ทับกันถ้า #sqrt {78} + sqrt {54} ge sqrt {(3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2} = sqrt {13} #

เราสามารถข้ามเครื่องคิดเลขและตรวจสอบ # 4 (13) (54) ge (78-13-54) ^ 2 # หรือ #4(13)(54) > 11^2# ซึ่งมันก็เป็นเช่นนั้นใช่ทับซ้อนกัน

คำอธิบาย:

แน่นอนว่าพื้นที่วงกลม #pi r ^ 2 # ดังนั้นเราจึงแบ่งการให้เปล่า # # ปี่s

เรามีรัศมีกำลังสอง

# r_1 ^ 2 = 78 #

# r_2 ^ 2 = 54 #

และระยะห่างกำลังสองระหว่างศูนย์

# d ^ = 2 (3-1) ^ 2 + (5-2) ^ 2 = 13 #

โดยทั่วไปเราต้องการทราบว่า # r_1 + r_2 ge d #, เช่นถ้าเราสร้างสามเหลี่ยมจากสองรัศมีและส่วนระหว่างศูนย์กลาง

ความยาวกำลังสองเป็นจำนวนเต็มที่ดีทั้งหมดและมันค่อนข้างบ้าที่เราทุกคนเข้าถึงเครื่องคิดเลขหรือคอมพิวเตอร์และเริ่มต้นหารากที่สอง

เราไม่จำเป็นต้องทำ แต่มันต้องมีทางอ้อมเล็กน้อย ลองใช้สูตรของเฮรอนโทรหาพื้นที่ # Q #.

# Q = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # ที่ไหน # s = (a + b + c) / 2 #

# Q ^ 2 = ((+ a + b + c) / 2) ((+ a + b + c) / 2) -a) (((a + b + c) / 2) -b) ((+ b + c) / 2) -c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (a + b + c-2a) (a + b + c-2b) (a + b + c-2c) #

# 16Q ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

ดีกว่านกกระสาแล้ว แต่เรายังคง ฉันจะข้ามความเบื่อหน่าย

# 16Q ^ 2 = 2 a ^ 2 b ^ 2 + 2 a ^ 2 c ^ 2 + 2 b ^ 2 c ^ 2 - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

นั่นคือสมมาตรอย่างที่เราคาดหวังจากสูตรพื้นที่ ลองทำให้มันดูสมมาตรน้อยลง จำ

# (c ^ 2 - a ^ 2- b ^ 2) ^ 2 = a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4 + 2a ^ 2b ^ 2-2b ^ 2-2b ^ 2c ^ 2-2a ^ 2c ^ 2 #

เพิ่ม

# 16Q ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 #

นั่นคือสูตรสำหรับพื้นที่กำลังสองของสามเหลี่ยมที่กำหนดความยาวกำลังสองของด้าน เมื่อหลังมีเหตุผลเช่นนั้นคืออดีต

ลองดูสิ เรามีอิสระที่จะกำหนดด้านข้าง แต่เราชอบ; สำหรับการคำนวณด้วยมือจะทำให้ดีที่สุด c # # ด้านที่ใหญ่ที่สุด

# c ^ 2 = 78 #

# a ^ 2 = 54 #

# ข ^ 2 = 13 #

# 16Q ^ 2 = 4 (54) (13) - (78-54-13) ^ 2 = 4 (54) 13 - 11 ^ 2 #

ก่อนที่จะคำนวณมันอีกเราจะเห็นว่าเรามีค่าเป็นบวก # 16Q ^ 2 # ดังนั้นสามเหลี่ยมจริงที่มีพื้นที่เป็นบวกวงกลมที่ทับซ้อนกัน

# 16Q ^ 2 = 2687 #

หากเราได้ค่าลบพื้นที่จินตภาพนั่นไม่ใช่สามเหลี่ยมจริงวงกลมที่ไม่ทับซ้อนกัน