Circle A มีศูนย์ที่ (6, 5) และพื้นที่ 6 pi Circle B มีศูนย์กลางที่ (12, 7) และพื้นที่ 48 pi วงกลมซ้อนกันหรือไม่

ตอบ:

ตั้งแต่

# (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 รูปสี่เหลี่ยม # และ

#4(6)(48) - (40 - 6 - 48)^2 = 956 > 0 #

เราสามารถสร้างสามเหลี่ยมจริงด้วยด้านกำลังสอง 48, 6 และ 40 ดังนั้นวงกลมตัดกัน

คำอธิบาย:

ทำไมไม่มีเหตุผล # # ปี่?

บริเวณนั้นคือ #A = pi r ^ 2 # ดังนั้น # R ^ 2 = A / ปี่. # ดังนั้นวงกลมแรกจึงมีรัศมี # r_1 = sqrt {6} # และที่สอง # r_2 = sqrt {48} = 4 sqrt {3} #.

ศูนย์คือ #sqrt {(12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2} = sqrt {40} = 2 sqrt {10} # ต่างหาก

ดังนั้นวงกลมจะทับกันถ้า #sqrt {6} + 4 sqrt {3} ge 2 sqrt {10} #.

ช่างน่าเกลียดเหลือเกินที่คุณจะได้รับการอภัยสำหรับเครื่องคิดเลข แต่มันไม่จำเป็นจริงๆ ลองอ้อมดูและวิธีการนี้ทำได้โดยใช้ Rational ตรีโกณมิติ ตรงนี้เราแค่เกี่ยวข้องกับความยาวกำลังสองที่เรียกว่า quadrances.

สมมุติว่าเราต้องการทดสอบว่าสามควอดเรย์ # A, B, C # คือลานกว้างระหว่างจุด collinear สามจุดนั่นคือ #sqrt {A} = sqrt {B} + sqrt {C} # หรือ #sqrt {B} = sqrt {A} + sqrt {C} # หรือ #sqrt {C} = sqrt {A} + sqrt {B} #. เราจะเขียนมันเป็น

# pm sqrt {C} = pm sqrt {A} pm sqrt {B} #

squaring, #C = A + B pm 2 sqrt {AB} #

#C - A-B = pm 2 sqrt {AB} #

กำลังสองอีกครั้ง

# (C-A-B) ^ 2 = 4AB #

# 0 = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

ปรากฎว่า

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 #

คือ จำแนก สำหรับรูปสามเหลี่ยม เราเพิ่งแสดงให้เห็นว่า #mathcal {A} = 0 # นั่นหมายความว่าเรามี สามเหลี่ยมสลาย ที่เกิดขึ้นจากสาม collinear คะแนน ถ้า #mathcal {A}> 0 # จากนั้นเรามี สามเหลี่ยมจริง แต่ละด้านน้อยกว่าผลรวมของอีกสอง ถ้า #mathcal {A} <0 # เราไม่มีด้านที่ตรงกับความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมและบางครั้งเราเรียกสิ่งนี้ว่า สามเหลี่ยมในจินตนาการ

ลองย้อนกลับไปที่คำถามของเราที่มีอาวุธแยกแยะสามเหลี่ยมใหม่ของเรา #mathcal {A} #. หากวงกลมตัดกันเราสามารถสร้างสามเหลี่ยมของสองจุดศูนย์กลางและจุดตัดดังนั้นด้านข้างจะมีความยาว # r_1 #, # r_2 #และระยะห่างระหว่างศูนย์ #(6,5)# และ #(12,7)#. เรามี

# A = r_1 ^ 2 = 6 #

#B = r_2 ^ 2 = 48 #

# C = (12-6) ^ 2 + (7-5) ^ 2 = 40 #

#mathcal {A} = 4AB - (C-A-B) ^ 2 = 4 (6) (48) - (40 - 6 - 48) ^ 2 = 956 #

#mathcal {A}> 0 # ดังนั้นเราจึงมีสามเหลี่ยมจริงเช่นวงกลมที่ทับซ้อนกัน

โอ้ใช่สำหรับสามเหลี่ยมใด ๆ #mathcal {A} = 16 (ข้อความ {area}) ^ 2. #

ตรวจสอบ: อัลฟ่า