บาป ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x คุณช่วยแก้ปัญหานี้ได้ไหม?

ตอบ:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

คำอธิบาย:

เรามี:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (cosx - cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

ปล่อย #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

เรามาดูกันว่า #u = -1 # เป็นปัจจัย ใช้ส่วนสังเคราะห์ที่เราได้รับ

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

สมการ # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # อาจแก้ไขได้โดยใช้สูตรสมการกำลังสอง

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 หรือ -0.309 #

ตั้งแต่ #cosx = u #, เราได้รับ #x = pi / 5, (3pi) / 5 # และ # # ปี่.

ที่ไหน # n # เป็นจำนวนเต็ม

กราฟของ # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # และ # y_2 = cos (3x) # ยืนยันว่าการแก้ปัญหาเป็นจุดตัด

หวังว่านี่จะช่วยได้!

ตอบ:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

คำอธิบาย:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, หรือ

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

วงกลมหน่วยและสมบัติของ cos ให้ ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

# 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

ถ้า k = 0 -> #x = pi #

ข # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

ถ้า k = 1 -> #x = pi / 5 #.

ถ้า k = 0 -> #x = - pi / 5 #, หรือ #x = (9pi) / 5 # (ร่วม Terminal)

ถ้า k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

ในช่วงปิด 0, 2pi คำตอบคือ:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

ตรวจสอบด้วยเครื่องคิดเลข

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = - 0.428 # -> cos 3x = - 309

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0.119 - 0.428 = - 309 #. ได้รับการพิสูจน์

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = 0.428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0.309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0.309 #. ได้รับการพิสูจน์

ตอบ:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # nrarrZ #

คำอธิบาย:

# rarrsin ^ 4x-cos ^ = 4x cos3x #

#rarr (บาป ^ 2x + cos ^ 2x) (บาป ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# rarr-cos2x = cos3x #

# rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

ทั้ง #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rarr (5x) / 2 = (2n + 1) ปี่ / 2 #

# rarrx = (2n + 1) ปี่ / 5 # # nrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# rarrx / 2 = (2n + 1) ปี่ / 2 #

# rarrx = (2n + 1) ปี่ # # nrarr #

ตอบ:

วิธีการแก้ปัญหาทั่วไปไม่จำเป็นต้องมีสูตรสามมุมและเป็น

# x = 180 ^ circ + 360 ^ circ k # หรือ # x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

สำหรับจำนวนเต็ม # k #.

คำอธิบาย:

ฉันไม่ชอบอ่านคำตอบของคนอื่นก่อนที่จะแก้คำถามด้วยตัวเอง แต่คำตอบที่โดดเด่นสำหรับสิ่งนี้โผล่ขึ้นมา ระหว่างที่ฉันมองแวบ ๆ ฉันไม่ได้สังเกตว่ามันดูค่อนข้างซับซ้อนสำหรับสิ่งที่ฉันคิดว่าเป็นคำถามที่ค่อนข้างง่าย ฉันจะให้มันยิง

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

ฉันใช้ Socratic มาสองสามสัปดาห์แล้วและนี่ก็เป็นประเด็นหลักของฉัน: วิธีแก้ปัญหาทั่วไป #cos x = cos a # คือ #x = pm a + 360 ^ circ k quad # สำหรับจำนวนเต็ม # k. #

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

เราแยกสัญญาณกัน บวกก่อน:

# x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #

ลบต่อไป

# -5x = -180 ^ circ + 360 ^ circ k #

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ k #

หากคุณอ่านสิ่งเหล่านี้อย่างใกล้ชิดคุณอาจคิดว่าฉันทำผิดกับวิธีที่ฉันจัดการ # k #. แต่ตั้งแต่ # k # ช่วงมากกว่าจำนวนเต็มทั้งหมดทดแทนเช่น #k ถึง -k # และ #k ถึง k + 1 # ได้รับอนุญาตและฉันส่งผู้ที่อยู่ในการรักษาสัญญาณ #+# เมื่อพวกเขาสามารถ

ตรวจสอบ:

ลองเลือกคู่เพื่อตรวจสอบ ฉัน geeky พอที่จะรู้ #cos 36 ^ circ # เป็นอัตราส่วนทองคำครึ่งหนึ่ง แต่ฉันจะไม่ทำสิ่งเหล่านี้ให้แน่ชัดเพียงแค่ใส่เข้าไปใน Wolfram Alpha เพื่อให้แน่ใจ

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #