ค้นหาค่าของ x ซึ่งชุดต่อไปนี้มาบรรจบกัน?

ตอบ:

#1<>

คำอธิบาย:

เมื่อพยายามกำหนดรัศมีและ / หรือช่วงเวลาของการบรรจบกันของชุดพลังงานเช่นนี้จะเป็นการดีที่สุดที่จะใช้การทดสอบอัตราส่วนซึ่งบอกให้เราทราบถึงชุด # suma_n #เราปล่อยให้

# L = lim_ (n-> OO) | a_ (n + 1) / a_n | #.

ถ้า #L <1 # ซีรีย์นี้เป็นคอนเวอร์เจนซ์ (และบรรจบกัน)

ถ้า #L> 1 #ชุด diverges

ถ้า # L = 1 # การทดสอบอัตราส่วนนั้นไม่สามารถสรุปได้

สำหรับ Power Series สามารถทำได้สามกรณี

ซีรีย์พาวเวอร์มาบรรจบกับจำนวนจริงทั้งหมด ช่วงเวลาของการบรรจบกันคือ # (- oo, oo) #

ข ชุดพลังงานมาบรรจบกันสำหรับบางหมายเลข # x = a; # รัศมีของการลู่เข้าเป็นศูนย์

ค กรณีที่พบบ่อยที่สุดคือพาวเวอร์ซีรี่ย์ # | x-A |<> ด้วยช่วงเวลาของการลู่เข้าของ # A-R

# | 2x-3 | lim_ (n-> OO) 1 = | 2x-3 | #

ดังนั้นถ้า # | 2x-3 | <1 #ชุดบรรจบ แต่เราต้องการสิ่งนี้ในรูปแบบ # | x-A |<>

# | 2 (x-3/2) | <1 #

# 2 | x-3/2 | <1 #

# | x-3/2 | <2/1 # ผลลัพธ์ในการบรรจบกัน รัศมีแห่งการลู่เข้าคือ # R = 1/2 #

ทีนี้ลองหาช่วงเวลา:

#-1/2

#-1/2+3/2

#1<>

เราต้องต่อสาย # x = 1, x = 2 # ลงในซีรี่ส์ดั้งเดิมเพื่อดูว่าเรามีจุดบรรจบกันหรือความแตกต่างที่จุดปลายเหล่านี้หรือไม่

# x = 1: sum_ (n = 0) ^ oo (2 (1) -3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n # diverges, summand ไม่มีขีด จำกัด และแน่นอนไม่ไปศูนย์, มันแค่สลับสัญญาณ

# x = 2: sum_ (n = 0) ^ oo (4-3) ^ n = sum_ (n = 0) ^ oo1 # diverges เช่นกันโดยการทดสอบความแตกต่าง #lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) 1 = 1 ne 0 #

ดังนั้นซีรี่ย์จึงมาบรรจบกัน #1<>

เราสามารถใช้การทดสอบอัตราส่วนซึ่งบอกว่าถ้าเรามีซีรีส์

#sum_ (n = 0) ^ ooa_n #

มันเป็นการบรรจบกันอย่างแน่นอนถ้า:

#lim_ (n-> OO) | a_ (n + 1) / a_n | <1 #

ในกรณีของเรา # a_n = (2x-3) ^ n #ดังนั้นเราตรวจสอบข้อ จำกัด:

#lim_ (n-> OO) | (2x-3) ^ (n + 1) / (2x-3) ^ n | = lim_ (n-> OO) | ((2x-3) ยกเลิก ((2x-3) ^ n)) / ยกเลิก ((2x-3) ^ n) | = #

# = lim_ (n-> OO) | 2x-3 | = 2x-3 #

ดังนั้นเราต้องตรวจสอบเมื่อ # | 2x-3 | # น้อยกว่า #1#:

ฉันทำผิดพลาดที่นี่ แต่คำตอบข้างต้นมีวิธีการเดียวกันและคำตอบที่ถูกต้องดังนั้นให้ดูที่แทน