จุดที่สูงที่สุดในโลกคือภูเขาทาคาโอะ ยอดเขาสูงจากระดับน้ำทะเล 8857 เมตร หากรัศมีของโลกถึงระดับน้ำทะเลคือ 6369 กม. ขนาดของ g จะเปลี่ยนแปลงไปเท่าใดระหว่างระดับน้ำทะเลและด้านบนของภูเขา เอเวอร์เรส?

ตอบ:

# "ลดขนาด g" ~~ 0.0273m / s ^ 2 #

คำอธิบาย:

ปล่อย

#R -> "รัศมีของโลกถึงระดับน้ำทะเล" = 6369 km = 6369000m #

#M -> "มวลของโลก" #

#h -> "ความสูงของจุดที่สูงที่สุดของ" #

# "Mt Everest จากระดับน้ำทะเล" = 8857m #

#g -> "การเร่งความเร็วเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก" #

# "ถึงระดับน้ำทะเล" = 9.8m / s ^ 2 #

#g '-> "การเร่งความเร็วเนื่องจากแรงโน้มถ่วงเป็นสูงที่สุด" #

# "" "จุดบนโลก" #

#G -> "ค่าความโน้มถ่วงคงที่" #

#m -> "มวลของร่างกาย" #

เมื่อร่างกายของมวล m อยู่ในระดับน้ำทะเลเราสามารถเขียน

# มิลลิกรัม = G (mm) / R ^ 2 …….. (1) #

เมื่อร่างของมวล m อยู่ในตำแหน่งที่สูงที่สุดใน Everst เราสามารถเขียนได้

# มก. '= G (mm) / (R + H) ^ 2 …… (2) #

หาร (2) โดย (1) เราได้

# (g ') / g = (R / (R + H)) ^ 2 = (1 / (1 + H / R)) ^ 2 #

# = (1 + H / R) ^ (- 2) ~~ 1- (2H) / R #

การละเลยเงื่อนไขพลังงานที่สูงขึ้นของ # H / R # เช่น # H / R "<<" 1 #)

ตอนนี้ # g '= กรัม (1- (2H) / R) #

ดังนั้นเปลี่ยน (ลดลง) ในขนาดของ g

# Deltag = G-g '= (2HG) / R = (2xx8857xx9.8) /6369000

ตอบ:

#approx -.027 m s ^ (- 2) #

คำอธิบาย:

กฎของนิวตันสำหรับแรงโน้มถ่วง

# F = (GMm) / (r ^ 2) #

และ # G # ถูกคำนวณที่พื้นผิวโลก # r_e # ดังนี้:

# m g_e = (GMm) / (r_e ^ 2) #

ดังนั้น #g_e = (GM) / (r_e ^ 2) #

ถ้าเราต้องคำนวณต่างกัน # G #เราจะได้รับ

#g_ (เอเวอร์เรส) - g_ (ทะเล) = จีเอ็ม (1 / (r_ (เอเวอร์เรส) ^ 2) - 1 / (r_ (ทะเล) ^ 2)) #

# GM = 3.986005 คูณ 10 ^ 14 m ^ 3 s ^ (- 2) #

#approx 3.986005 คูณ 10 ^ 14 * (1 / (6369000 + 8857) ^ 2) - 1 / (6369000 ^ 2)) #

#approx -.027 m s ^ (- 2) #

ใช้ดิฟเฟอเรนเชียล เพื่อตรวจสอบอีกครั้ง:

#g_e = (GM) / (r_e ^ 2) #

#implies ln (g_e) = ln ((GM) / (r_e ^ 2)) = ln (GM) - 2 ln (r_e) #

# (dg_e) / (g_e) = - 2 (dr_e) / (r_e) #

#dg_e = - 2 (dr_e) / (r_e) g_e = -2 * 8857/6369000 * 9.81 = -0.027 ms ^ (- 2) #