โปรดช่วยแก้ปัญหานี้ด้วยฉันไม่สามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้ คำถามคือหา f? รับ f: (0, + oo) -> RR กับ f (x / e) <= lnx <= f (x) -1, x ใน (0, + oo)

ตอบ:

# f (x) = LNX + 1 #

คำอธิบาย:

เราแบ่งความไม่เท่าเทียมกันออกเป็น 2 ส่วน:

# f (x) -1> = LNX # #-># (1)

# f (x / E) <= LNX ##-># (2)

ดูที่ (1):

เราจัดเรียงใหม่เพื่อรับ # f (x)> = LNX + 1 #

ดูที่ (2):

เราถือว่า # การ y = x / E # และ # x = เจ้า #. เรายังคงพึงพอใจเงื่อนไข #y ใน (0, + oo) #.# f (x / E) <= LNX #

# f (y) <= lnye #

#f (y) <= lny + lne #

# f (y) <= LNY + 1 #

#y inx # ดังนั้น # f (y) = f (x) #.

จากผลลัพธ์ 2 รายการ # f (x) = LNX + 1 #

ตอบ:

สมมติว่าฟอร์มนั้นใช้ขอบเขต

คำอธิบาย:

จากความจริงที่ว่าเราเห็นว่าขอบเขต f (x) ln (x) เราอาจสมมติว่าฟังก์ชันนั้นเป็นรูปแบบของ ln (x) สมมติว่าเป็นรูปแบบทั่วไป:

#f (x) = Aln (x) + b #

เสียบในเงื่อนไขซึ่งหมายความว่า

#Aln (x / e) + b le lnx le Aln (x) + b - 1 #

#Aln (x) - A + b le ln x le A ln x + b - 1 #

เราสามารถลบได้ #Aln (x) + b # จากสมการทั้งหมดเพื่อค้นหา

# - ไฟล์ (1-A) ln x - b ไฟล์ - 1 #

พลิก

# 1 ไฟล์ (A-1) lnx + b le A #

หากเราต้องการให้สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับ x ทั้งหมดเราจะเห็นว่าขอบเขตบนเป็นค่าคงที่และ #ln (x) # ไม่มีขอบเขต จำกัด คำนั้นต้องเป็น 0 อย่างชัดเจนดังนั้น A = 1 ทำให้เรามี

# 1 le b le 1 หมายถึง b = 1 #

ดังนั้นเราจึงมีวิธีแก้ปัญหาด้วยเท่านั้น #A = b = 1 #:

#f (x) = ln (x) + 1 #