วิธีการเลือกตัวเลขสองตัวที่ผลรวมของสแควร์รูทของพวกมันน้อยที่สุดโดยรู้ว่าผลคูณของสองตัวนั้นคืออะไร?

ตอบ:

# x y = = sqrt (ก) #

คำอธิบาย:

# x * y = a => x * y - a = 0 #

#f (x, y) = sqrt (x) + sqrt (y) "น้อยมาก" #

# "เราสามารถทำงานร่วมกับตัวคูณ Lagrange L:" #

#f (x, y, L) = sqrt (x) + sqrt (y) + L (x * y-a) #

# "อัตราผลตอบแทนที่ได้รับ:" #

# {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * y = 0 #

# {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (y)) + L * x = 0 #

# {df} / {dL} = x * y-a = 0 #

# => y = a / x #

# => {df} / dy = 1 / (2 * sqrt (a / x)) + L * x = 0 #

# = sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) + L * x = 0 #

# => {df} / dx = 1 / (2 * sqrt (x)) + L * a / x = 0 #

# => sqrt (x) / 2 + L * a = 0 "(หลังจากคูณด้วย x"! = "0)" #

# => L = - sqrt (x) / (2 * a) #

# => sqrt (x) / (2 * sqrt (a)) - sqrt (x) * x / (2 * a) = 0 #

# => 1 / (2 * sqrt (a)) - x / (2 * a) = 0 #

# => x = sqrt (a) #

# => y = sqrt (a) #

# => L = -a ^ (1/4) / (2 * a) <0 => "ขั้นต่ำ" #

# "ตอนนี้เรายังต้องตรวจสอบ x = 0" #

# "นี่เป็นไปไม่ได้เมื่อ x * y = 0 แล้ว" #

# "ดังนั้นเราจึงมีทางออกที่เป็นเอกลักษณ์" #

# x y = = sqrt (ก) #

ตอบ:

ฉันจะพยายามนำคุณผ่านวิธีการแก้ปัญหาด้านล่าง

คำอธิบาย:

เรากำลังมองหาอะไร

ตัวเลขสองตัว มาตั้งชื่อกัน # x # และ # Y #.

อ่านคำถามอีกครั้ง

เราต้องการทำให้ผลรวมของสแควร์รูทน้อยที่สุด

สิ่งนี้บอกเราสองสิ่ง

(1) ตัวเลขทั้งสองนั้นไม่เป็นลบ (เพื่อหลีกเลี่ยงจินตภาพ)

(2) เรามีความสนใจในคุณค่าของ # sqrtx + sqrty #

อ่านคำถามอีกครั้ง

เรายังได้รับการบอกเล่าถึงผลิตภัณฑ์ของ # x # และ # Y # คือ # A #.

ใครเลือก # A #?

โดยทั่วไปถ้าการออกกำลังกายพูดอะไรบางอย่างเกี่ยวกับ # A # หรือ # B # หรือ c # #เรารับค่าคงที่ที่คนอื่นให้

ดังนั้นเราอาจจะบอกว่า "ผลิตภัณฑ์ของ # x # และ # Y # คือ #11#'

หรือ "ผลิตภัณฑ์ของ # x # และ # Y # คือ #124#'.

เราต้องแก้ปัญหาทั้งหมดนี้ในทันทีโดยการพูด # XY = a # สำหรับบางค่าคงที่ # A #.

ดังนั้นเราต้องการทำ # sqrtx + sqrty # มีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้ # XY = a # สำหรับบางค่าคงที่ # A #.

ดูเหมือนว่าปัญหาการปรับให้เหมาะสมและเป็นปัญหา ดังนั้นฉันต้องการฟังก์ชันหนึ่งตัวแปรเพื่อลด

# sqrtx + sqrty # มีสองตัวแปร # x # และ # Y #

# XY = a # ก็มีสองตัวแปร # x # และ # Y # (จำ # A # เป็นค่าคงที่)

ดังนั้น #y = a / x #

ตอนนี้เราต้องการลด:

#f (x) = sqrtx + sqrt (a / x) = sqrtx + sqrta / sqrtx #

ค้นหาอนุพันธ์จากนั้นจึงเป็นจำนวนวิกฤตและทดสอบจำนวนวิกฤต เสร็จสิ้นการค้นหา # Y #.

#f '(x) = (x-sqrta) / (2x ^ (3/2)) #

วิกฤติ # sqrta #

#f '(x) <0 # สำหรับ #x <sqrta # และ #f '(x)> 0 # สำหรับ #x> sqrta #ดังนั้น # f (sqrta) # เป็นขั้นต่ำ

#x = sqrta # และ #y = a / x = sqrta #

ตอบ:

# 2 root (4) (a) #

คำอธิบาย:

เรารู้ว่าสำหรับ #x_i> 0 # เรามี

# (x_1 x_2 cdots x_n) ^ { frac {1} {n}} le frac {x_1 + x_2 + cdots + x_n} {n} #

แล้วก็

# x_1 + x_2 ge 2 sqrt (x_1 x_2) # แล้วก็

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ราก 2 ge (4) (x_1x_2) #

แต่ # x_1x_2 = a # แล้วก็

# sqrtx_1 + sqrt x_2 ge 2 รูท (4) (a) #