สมการของพาราโบลาที่มีโฟกัสอยู่ที่ (5,3) และ directrix ของ y = -12 คืออะไร?

ตอบ:

# การ y = x ^ 2/30 x / 3-11 / 3 #

คำอธิบาย:

คำจำกัดความของพาราโบลาระบุว่าทุกจุดบนพาราโบลามีระยะห่างจากโฟกัสและไดเรกทริกเดียวกันเสมอ

เราสามารถปล่อยให้ # P = (x, y) #ซึ่งจะแสดงถึงจุดทั่วไปบนพาราโบลาเราสามารถปล่อยให้ # F = (5,3) # เป็นตัวแทนของการมุ่งเน้นและ # D = (x, -12) # เป็นตัวแทนของจุดที่ใกล้ที่สุดใน directrix, # x # เป็นเพราะจุดที่ใกล้ที่สุดบน directrix นั้นตรงลงเสมอ

ตอนนี้เราสามารถตั้งค่าสมการด้วยจุดเหล่านี้ เราจะใช้สูตรระยะทางเพื่อหาระยะทาง:

# d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

เราสามารถใช้สิ่งนี้กับจุดแรกของเราเพื่อให้ได้ระยะห่างระหว่าง # P # และ # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

จากนั้นเราจะหาระยะทางระหว่าง # P # และ # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

เนื่องจากระยะทางเหล่านี้ต้องเท่ากันเราจึงสามารถใส่มันในสมการได้:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

ตั้งแต่จุดที่ # P # อยู่ในรูปแบบทั่วไปและสามารถแสดงจุดใดก็ได้บนพาราโบลาหากเราสามารถแก้หาได้ # Y # ในสมการเราจะเหลือสมการที่จะให้คะแนนทั้งหมดกับพาราโบลาหรือกล่าวอีกนัยหนึ่งมันจะเป็นสมการของพาราโบลา

ก่อนอื่นเราจะยกกำลังสองทั้งสองด้าน:

# (sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

จากนั้นเราสามารถขยาย:

# x ^ 2-10x + 25 + Y ^ 2-6y + 9 = Y ^ 2 + 24y + 144 #

หากเราใส่ทุกอย่างไว้ทางซ้ายและสะสมเหมือนคำเราจะได้รับ:

# x ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# การ y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# การ y = x ^ 2/30 x / 3-11 / 3 #

ซึ่งเป็นสมการของพาราโบลาของเรา