Cot (theta / 2) ในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติของหน่วย theta คืออะไร

ตอบ:

ขออภัยที่เข้าใจผิด #cot (theta / 2) = sin (theta) / {1-cos (theta)}, # ซึ่งคุณจะได้รับจากการพลิก #tan (theta / 2) = {1-cos (theta)} / sin (theta) #หลักฐานมา

# theta = 2 * arctan (1 / x) #

คำอธิบาย:

เราไม่สามารถแก้ปัญหานี้ได้หากไม่มีมือขวาดังนั้นฉันจะไปด้วย # x #.

การจัดเรียงเป้าหมายใหม่ #cot (theta / 2) = x # สำหรับ # theta #.

เนื่องจากเครื่องคิดเลขหรือเครื่องช่วยส่วนใหญ่ไม่มีปุ่ม "เตียง" หรือปุ่ม #cot ^ {- 1} # หรือ #arc cot # หรือ # acot # ปุ่ม#''^1# (คำที่แตกต่างกันสำหรับฟังก์ชั่นโคแทนเจนต์ผกผัน, เปลย้อนหลัง) เราจะทำเช่นนี้ในแง่ของผิวสีแทน

#cot (theta / 2) = 1 / สีน้ำตาล (theta / 2) # ทิ้งเราไว้ด้วย

# 1 / สีน้ำตาล (theta / 2) = x #.

ตอนนี้เรารับทั้งสองฝ่าย

# 1 / {1 / สีน้ำตาล (theta / 2)} = 1 / x # ซึ่งไปที่

#tan (theta / 2) = 1 / x #.

ณ จุดนี้เราจำเป็นต้องได้รับ # theta # ด้านนอกของ # # สีน้ำตาลเราทำสิ่งนี้โดยการ # arctan # การผกผันของ # # สีน้ำตาล. # # สีน้ำตาล ใช้มุมและสร้างอัตราส่วน #tan (45 ^ o) = 1 #. # arctan # ใช้อัตราส่วนและสร้างมุม #arctan (1) = 45 ^ o # #''^2#. ซึ่งหมายความว่า #arctan (สีน้ำตาล (45)) = 45 # และ #tan (arctan (1)) = 1 # หรือโดยทั่วไป:

#arctan (สีน้ำตาล (x)) = x #

และ

#tan (arctan (x)) = x #.

การนำสิ่งนี้ไปใช้กับนิพจน์ของเราที่เรามี

#arctan (สีน้ำตาล (theta / 2)) = arctan (1 / x) # ซึ่งกลายเป็น

# theta / 2 = arctan (1 / x) # และจบลงเราได้

# theta = 2 * arctan (1 / x) #.

คุณสังเกตเห็นฉันฉันใช้เชิงอรรถ! มีรายละเอียดปลีกย่อยบางอย่างสำหรับฟังก์ชันตรีโกณฯ ผกผันที่ฉันเลือกบรรจุลงที่นี่

1) ชื่อฟังก์ชั่นตรีโกณมิติ ชื่อทางการของฟังก์ชันตรีโกณฯ ตรีโกณมิติคือ "ส่วนโค้ง" - ฟังก์ชันตรีโกณฯ # arctan #, # ARccOS # # arcsin #. นี่คือ shorted สองวิธี, "atan", "acos" "asin" ซึ่งใช้ในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์และโปรแกรมคณิตศาสตร์และ HORRIBLE "tan ^ -1", "sin ^ -1" "cos ^ -1" ซึ่งใช้ ในเครื่องคิดเลขจำนวนมาก มันน่ากลัวเพราะ # tan ^ -1 x # สามารถดูเหมือน # 1 / tan x #ในขณะที่ #atan x # และ #arctan x # มีโอกาสน้อยมากที่จะสับสนผู้อ่าน ใช้ atan หรือ arctan ในพีชคณิตของคุณ

2) เนื่องจากค่าทั้งหมดของแทนเจนต์เกิดขึ้นสองครั้งในวงกลมหน่วย # arctan # ปกติจะคืนค่ามุมระหว่าง # -180 ^ o # และ # 180 ^ o #เพื่อใช้มุมอื่นที่คุณต้องใช้สมองของคุณ!

รับ csc ^ (2) (theta) = (7/2) cot ^ (2) (theta) คืออะไร?

5/2 เพียงใช้สูตร csc ^ 2 theta - cot ^ 2 theta = 1 ดังนั้น cot ^ 2 theta = csc ^ 2 theta-1 = 7/2 -1 = 5/2

พิสูจน์ว่า: -cot ^ -1 (theta) = cos ^ -1 (theta) / 1 + (theta) ²?

ให้ cot ^ (- 1) theta = A แล้ว rarrcotA = theta rarrtanA = 1 / theta rarrcosA = 1 / secA = 1 / sqrt (1 + tan ^ 2A) = 1 / sqrt (1+ (1 / theta) ^ 2) rarrcosA = 1 / sqrt ((1 + theta ^ 2) / theta ^ 2) = theta / sqrt (1 + theta ^ 2) rarrA = cos ^ (- 1) (theta / (sqrt (1 + theta ^ 2)) ) = cot ^ (- 1) (theta) rarrthereforecot ^ (- 1) (theta) = cos ^ (- 1) (theta / (sqrt (1 + theta ^ 2)))

แสดงว่า (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

โปรดดูที่ด้านล่าง. ให้ 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), ที่นี่ r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2 ) -2) = 2cos (theta / 2) และ tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) หรือ alpha = theta / 2 จากนั้น 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alpha) + isin (-alpha)) = r (cosalpha-isinalpha) และเราสามารถเขียน (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n ใช้ทฤษฎีบท DE MOivre เป็น r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ ncosnalpha = 2 * 2