อนุพันธ์ของ x ^ n คืออะไร?

สำหรับฟังก์ชั่น # f (x) = x ^ n #ควร ไม่ เท่ากับ 0 ด้วยเหตุผลที่ชัดเจน n ควรเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ (เช่นเศษส่วน)

กฎคือ:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

กล่าวอีกนัยหนึ่งเรา "ยืม" พลังของ x และทำให้มันเป็นสัมประสิทธิ์ของอนุพันธ์แล้วลบ 1 จากพลังงาน

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

ดังที่ได้กล่าวไปแล้วกรณีพิเศษคือที่ n = 0 ซึ่งหมายความว่า

# f (x) = x ^ 0 = 1 #

เราสามารถใช้กฎของเราและ ในทางเทคนิค รับคำตอบที่ถูกต้อง:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

อย่างไรก็ตามในภายหลังบนเส้นทางเราจะพบกับปัญหาเมื่อเราพยายามใช้กฎผกผันของกฎนี้

ตอบ:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

ด้านล่างนี้เป็นบทพิสูจน์สำหรับตัวเลขทุกตัว แต่การพิสูจน์สำหรับจำนวนเต็มทั้งหมดใช้ชุดทักษะพื้นฐานของคำจำกัดความของอนุพันธ์ หลักฐานสำหรับปันส่วนทั้งหมดใช้กฎลูกโซ่และสำหรับ irrationals ใช้ความแตกต่างโดยนัย

คำอธิบาย:

ที่ถูกกล่าวว่าฉันจะแสดงพวกเขาทั้งหมดที่นี่เพื่อให้คุณสามารถเข้าใจกระบวนการ ระวังไว้นะ #จะ# ค่อนข้างยาว

จาก #y = x ^ (n) #ถ้า #n = 0 # เรามี #y = 1 # และอนุพันธ์ของค่าคงที่คือศูนย์ alsways

ถ้า # n # เป็นจำนวนเต็มบวกอื่น ๆ ที่เราสามารถใช้ในสูตรอนุพันธ์และใช้ทฤษฎีบททวินามเพื่อแก้ปัญหา

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

ที่ไหน # K_i # เป็นค่าคงที่ที่เหมาะสม

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

การหารนั้น # H #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

เราสามารถนำเทอมแรกออกมาจากผลรวม

#y = lim_ (h rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

การ จำกัด ทุกอย่างที่เหลืออยู่ในผลรวมจะเป็นศูนย์ การคำนวณ # K_1 # เราเห็นว่ามันเท่ากับ # n #ดังนั้น

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

สำหรับ # n # นั่นคือจำนวนเต็มลบมันซับซ้อนกว่าเล็กน้อย รู้ว่า # x ^ -n = 1 / x ^ b #, ดังนั้น #b = -n # และดังนั้นจึงเป็นบวก

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (สอง) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

เทอมแรกออกไป

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (สอง) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ ข)) #

ใช้วงเงินที่ไหน # K_1 = b #รีเซ็ทย่อยที่กลับไป # n #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

สำหรับเหตุผลเราต้องใช้กฎลูกโซ่ นั่นคือ.: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

ดังนั้นรู้ว่า # x ^ (1 / n) = root (n) (x) # และสมมติว่า #n = 1 / b # เรามี

# (x ^ n) ^ b = x #

ถ้า # B # แม้คำตอบก็คือในทางเทคนิค # | x | # แต่นี่ใกล้เพียงพอสำหรับจุดประสงค์ของเรา

ดังนั้นเราจึงใช้กฎลูกโซ่

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

และสุดท้าย แต่ไม่ท้ายสุดการใช้ความแตกต่างโดยนัยเราสามารถพิสูจน์ได้สำหรับจำนวนจริงทั้งหมดรวมถึง irrationals

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #