สามเหลี่ยม A มีพื้นที่ 12 และสองด้านยาว 8 และ 7 สามเหลี่ยม B นั้นคล้ายกับสามเหลี่ยม A และมีด้านความยาว 5 พื้นที่สามเหลี่ยมขั้นสูงสุดและต่ำสุดที่เป็นไปได้คืออะไร?

ตอบ:

กรณี - พื้นที่ขั้นต่ำ:

# D1 = color (สีแดง) (D_ (ขั้นต่ำ)) = color (สีแดง) (1.3513) #

กรณี - พื้นที่สูงสุด:

# D1 = สี (สีเขียว) (D_ (สูงสุด)) = สี (สีเขียว) (370.3704) #

คำอธิบาย:

ให้สามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกันเป็น ABC & DEF

สามด้านของสามเหลี่ยมสองรูปคือ a, b, c & d, e, f และพื้นที่ A1 & D1

เนื่องจากรูปสามเหลี่ยมมีความคล้ายคลึงกัน

# a / d = b / e = c / f #

ด้วย # (A1) / (D1) = a ^ 2 / d ^ 2 = b ^ 2 / e ^ 2 = c ^ 2 / f ^ 2 #

คุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยมคือผลรวมของสองด้านใด ๆ จะต้องมากกว่าด้านที่สาม

การใช้คุณสมบัตินี้เราสามารถไปถึงค่าต่ำสุดและสูงสุดของด้านที่สามของสามเหลี่ยม ABC

ความยาวสูงสุดของด้านที่สาม #c <8 + 7 #, พูด 14.9 (แก้ไขได้ไม่เกินหนึ่งทศนิยม

เมื่อได้สัดส่วนกับความยาวสูงสุดเราจะได้พื้นที่น้อยที่สุด

กรณี - พื้นที่ขั้นต่ำ:

# D1 = สี (แดง) (D_ (ต่ำสุด)) = A1 * (f / c) ^ 2 = 12 * (5 / 14.9) ^ 2 = สี (แดง) (1.3513) #

ความยาวต่ำสุดของด้านที่สาม #c> 8 - 7 #, พูด 0.9 (แก้ไขได้ไม่เกินหนึ่งทศนิยม

เมื่อได้สัดส่วนกับความยาวต่ำสุดเราจะได้พื้นที่สูงสุด

กรณี - พื้นที่สูงสุด:

# D1 = สี (สีเขียว) (D_ (สูงสุด)) = A1 * (f / c) ^ 2 = 12 * (5 / 0.9) ^ 2 = สี (สีเขียว) (370.3704) #

สามเหลี่ยม A มีพื้นที่ 12 และสองด้านยาว 4 และ 8 สามเหลี่ยม B นั้นคล้ายกับสามเหลี่ยม A และมีด้านความยาว 7 พื้นที่สามเหลี่ยมขั้นสูงสุดและต่ำสุดที่เป็นไปได้คืออะไร?

A_ "Bmin" ~~ 4.8 A_ "Bmax" = 36.75 ก่อนอื่นคุณต้องหาความยาวด้านของสามเหลี่ยมขนาดใหญ่สุด A เมื่อด้านที่ยาวที่สุดมากกว่า 4 และ 8 และสามเหลี่ยมขนาดต่ำสุดเมื่อ 8 คือด้านที่ยาวที่สุด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ให้ใช้สูตรพื้นที่ของเฮรอน: s = (a + b + c) / 2 โดยที่ a, b, & c คือความยาวด้านของสามเหลี่ยม: A = sqrt (s (sa) (sb) (sc)) a = 8, b = 4 "&" c "เป็นความยาวด้านที่ไม่รู้จัก" s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c)) A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c ) (6-1 / 2c)) สี่เหลี่ยมทั้งสองด้าน: 144 = (6 + 1

สามเหลี่ยม A มีพื้นที่ 12 และสองด้านยาว 6 และ 9 สามเหลี่ยม B นั้นคล้ายกับสามเหลี่ยม A และมีด้านความยาว 15 พื้นที่สามเหลี่ยมขั้นสูงสุดและต่ำสุดที่เป็นไปได้คืออะไร?

พื้นที่สูงสุดของรูปสามเหลี่ยม B = 75 พื้นที่ขั้นต่ำของรูปสามเหลี่ยม B = 100/3 = 33.3 รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันมีมุมและอัตราส่วนขนาดเท่ากัน นั่นหมายความว่าการเปลี่ยนแปลงความยาวของด้านใดด้านหนึ่งไม่ว่าใหญ่หรือเล็กก็จะเหมือนกันสำหรับอีกสองด้าน เป็นผลให้พื้นที่ของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันจะมีอัตราส่วนหนึ่งต่ออีก มันแสดงให้เห็นว่าถ้าอัตราส่วนของด้านข้างของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันคือ R ดังนั้นอัตราส่วนของพื้นที่ของสามเหลี่ยมนั้นคือ R ^ 2 ตัวอย่าง: สำหรับ 3,4,5, สามเหลี่ยมมุมฉากนั่งอยู่บน 3 ฐานพื้นที่ของมันสามารถคำนวณได้อย่างง่ายดายในรูปแบบ A_A = 1 / 2bh = 1/2 (3) (4) = 6 แต่ถ้าทั้งสามด้านยาวเป็นสองเท่าพื้นที่ของสามเหลี่ยมใหม่คือ A_B = 1

สามเหลี่ยม A มีพื้นที่ 15 และสองด้านยาว 4 และ 9 สามเหลี่ยม B นั้นคล้ายกับสามเหลี่ยม A และมีด้านความยาว 7 พื้นที่สามเหลี่ยมขั้นสูงสุดและต่ำสุดที่เป็นไปได้คืออะไร?

มีด้านที่สามที่เป็นไปได้ประมาณ 11.7 ในรูปสามเหลี่ยม A ถ้าขนาดนั้นเป็นเจ็ดเราจะได้พื้นที่ที่น้อยที่สุดคือ 735 / (97 + 12 ตารางเมตร (11)) ถ้าความยาวด้าน 4 ปรับเป็น 7 เราจะได้พื้นที่สูงสุด 735/16 นี่อาจเป็นปัญหาที่ยุ่งยากกว่าที่ปรากฏครั้งแรก ใครรู้วิธีค้นหาด้านที่สามที่เราต้องการสำหรับปัญหานี้ ตรีโกณมิติปกติทำให้เราคำนวณมุมทำให้การประมาณที่ไม่จำเป็น มันไม่ได้สอนในโรงเรียน แต่วิธีที่ง่ายที่สุดคือทฤษฎีบทของอาร์คิมีดีสทฤษฎีบทของเฮรอนที่ทันสมัย ลองเรียกพื้นที่ A ของ A และเชื่อมโยงมันกับ A's a, b และ c 16A ^ 2 = 4 a ^ 2 b ^ 2 - (c ^ 2 - a ^ 2 - b ^ 2) ^ 2 c ปรากฏเพียงครั้งเดียวดังนั้นเราจึงไม่ทราบ เรามาแก้ปัญหากัน (c ^ 2 - a ^