สามเหลี่ยม A มีพื้นที่ 12 และสองด้านยาว 4 และ 8 สามเหลี่ยม B นั้นคล้ายกับสามเหลี่ยม A และมีด้านความยาว 7 พื้นที่สามเหลี่ยมขั้นสูงสุดและต่ำสุดที่เป็นไปได้คืออะไร?

ตอบ:

#A_ "Bmin" ~~ 4.8 #

#A_ "Bmax" = 36.75 #

คำอธิบาย:

ก่อนอื่นคุณจะต้องหาความยาวด้านสำหรับสามเหลี่ยมขนาดสูงสุด เมื่อด้านที่ยาวที่สุดมากกว่า 4 และ 8 และสามเหลี่ยมขนาดต่ำสุด เมื่อ 8 คือด้านที่ยาวที่สุด

เพื่อทำสิ่งนี้ ใช้สูตรพื้นที่ของเฮรอน: #s = (a + b + c) / 2 # ที่ไหน #a, b, & c # คือความยาวด้านของสามเหลี่ยม:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

ปล่อย #a = 8, b = 4 "&" c "เป็นความยาวด้านที่ไม่รู้จัก" #

#s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c #

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c) #

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c)) #

สแควร์ทั้งสองด้าน:

# 144 = (6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c) #

ดึง 1/2 ออกจากแต่ละปัจจัย:

# 144 = 1/16 (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

ลดความซับซ้อน:

# 2304 = (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

# 2304 = (48 + 8c-c ^ 2) (- 48 + 8c + c ^ 2) #

# 2304 = -2304 + 384c + 48c ^ 2 - 384c + 64c ^ 2 + 8c ^ 3 + 48c ^ 2-8c ^ 3-c ^ 4 #

# c ^ 4 - 160c ^ 2 + 4608 = 0 #

* แทน #x = c ^ 2 *: "" x ^ 2 -160x + 4608 = 0 #

ใช้เติมสี่เหลี่ยม:

# (x ^ 2-160x) = -4608 #

# (x - 160/2) ^ 2 = -4608 + (-160/2) ^ 2 #

# (x-80) ^ 2 = 1792 #

รากที่สองทั้งสองด้าน:

# x-80 = + -sqrt (1792) #

#x = 80 + -sqrt (16) sqrt (16) sqrt (7) #

#x = 80 + -16 sqrt (7) #

แทน # c ^ 2 = x #:

# c ^ 2 = 80 + -16 sqrt (7) #

#c = + - sqrt (80 + -16 sqrt (7)) #

เนื่องจากความยาวด้านสามเหลี่ยมเป็นบวกเราจึงต้องเพิกเฉยคำตอบเชิงลบ:

ความยาวด้านต่ำสุดและสูงสุดของสามเหลี่ยม A:

#c = sqrt (80 + -16 sqrt (7)) ~~ 6.137, 11.06 #

ตั้งแต่ พื้นที่สามเหลี่ยมมีสัดส่วนกับกำลังสองของความยาวด้าน เราสามารถหาพื้นที่สูงสุดและต่ำสุดของสามเหลี่ยม B:

# A_B / A_A = (7/4) ^ 2; "" A_B = (7/4) ^ 2 * 12 = 36.75 #

# A_B / A_A = (7/8) ^ 2; "" A_B = (7/8) ^ 2 * 12 = 9.1875 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 11.06) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 11.06) ^ 2 * 12 ~~ 4.8 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 6.137) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 6.137) ^ 2 * 12 ~~ 15.6 #

#A_ "Bmin" ~~ 4.8 #

#A_ "Bmax" = 36.75 #