กรุณาช่วย. ฉันไม่แน่ใจว่าจะทำอย่างไรได้อย่างรวดเร็วโดยไม่ต้องคูณให้หมด

ตอบ:

คำตอบของ (ผม) คือ #240#.

คำตอบของ (ii) คือ #200#.

คำอธิบาย:

เราสามารถทำได้โดยใช้สามเหลี่ยมของ Pascal ดังที่แสดงด้านล่าง

(ผม)

เนื่องจากเลขชี้กำลังเป็น #6#เราจำเป็นต้องใช้แถวที่หกในรูปสามเหลี่ยมซึ่งรวมถึง #color (สีม่วง) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # และ #COLOR (สีม่วง) 1 #. โดยทั่วไปเราจะใช้ #COLOR (สีฟ้า) 1 # เป็นเทอมแรกและ #COLOR (สีแดง) (2x) # เป็นครั้งที่สอง จากนั้นเราสามารถสร้างสมการต่อไปนี้ เลขชี้กำลังของเทอมแรกเพิ่มขึ้นตาม #1# แต่ละครั้งและเลขชี้กำลังของเทอมที่สองลดลง #1# กับแต่ละเทอมจากสามเหลี่ยม

# (สี (สีม่วง) สี 1 * (สีฟ้า) (1 ^ 0) สี * (สีแดง) ((2x) ^ 6)) + (สี (สีม่วง) 6 สี (สีฟ้า) (1 ^ 1) * (สี สีแดง) ((2x) ^ 5)) + (สี (สีม่วง) 15 สี * (สีฟ้า) (1 ^ 2) * สี (สีแดง) ((2x) ^ 4)) + (สี (สีม่วง) 20 * (สี สีฟ้า) (1 ^ 3) * สี (สีแดง) ((2x) ^ 3)) + (สี (สีม่วง) 15 สี (สีฟ้า) (1 ^ 4) สี * (สีแดง) ((2x) ^ 2)) + (สี (สีม่วง) 6 สี * (สีฟ้า) (1 ^ 5) * สี (สีแดง) ((2x) ^ 1)) + (สี (สีม่วง) สี 1 * (สีฟ้า) (1 ^ 6) สี * (สีแดง) ((2x) ^ 0)) #

จากนั้นเราสามารถทำให้มันง่ายขึ้น

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์ของ # x ^ 4 # คือ #240#.

(ii)

เรารู้แล้วว่าการขยายตัวของ # (1 + 2x) ^ 6 #. ตอนนี้เราสามารถคูณสองนิพจน์เข้าด้วยกัน

#COLOR (สีน้ำตาล) (1-x (1/4)) * สี (สีส้ม) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

ค่าสัมประสิทธิ์ของ # x # ใน # 1 x (1/4) # คือ #1#. ดังนั้นเรารู้ว่ามันจะเพิ่มค่าของเลขชี้กำลังในการแสดงออกอื่น ๆ โดย #1#. เพราะเราต้องการค่าสัมประสิทธิ์ของ # x ^ 4 #เราแค่ต้องคูณ # 160x ^ 3 # โดย # 1 x (1/4) #.

# 160x ^ ^ 3-40x 4 #

ตอนนี้เราต้องเพิ่มมัน # 240x ^ 4 #. นี่เป็นส่วนหนึ่งของการแก้ปัญหาของ # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #เนื่องจากมีการคูณด้วย #1#. มันมีความสำคัญเพราะมันมีเลขชี้กำลัง #4#.

# -40x ^ 4 + 4 240x ^ = ^ 200x 4 #

ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์คือ #200#.

ตอบ:

ผม. # 240x ^ 4 #

ii # 200 x ^ 4 #

คำอธิบาย:

การขยายตัวแบบทวินามสำหรับ # (A + BX) ^ C # สามารถแสดงเป็น:

#sum_ (n = 0) ^ ค (ค) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (BX) ^ n #

สำหรับส่วนที่ 1 เราต้องการเพียงเมื่อ # n = 4 #:

# (6) / (4 (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

สำหรับส่วนที่ 2 เรายังต้องการ # x ^ 3 # คำเพราะ # x / 4 #

# (6) / (3 (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 4 240x ^ = ^ 200x 4 #