คำตอบของ (z-1) ^ 3 = 8i คืออะไร

ตอบ:

#z ใน {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

คำอธิบาย:

สำหรับปัญหานี้เราจะต้องรู้วิธีค้นหา # n ^ "TH" # รากของจำนวนเชิงซ้อน ในการทำเช่นนี้เราจะใช้ข้อมูลประจำตัว

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

เนื่องจากตัวตนนี้เราจึงสามารถแทนจำนวนเชิงซ้อนใด ๆ

# a + bi = Re ^ (itheta) # ที่ไหน #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # และ #theta = arctan (b / a) #

ตอนนี้เราจะไปตามขั้นตอนเพื่อค้นหา # 3 ^ "ถนน" # รากของจำนวนเชิงซ้อน # A + สอง #. ขั้นตอนในการค้นหา # n ^ "TH" # รากมีความคล้ายคลึงกัน

ป.ร. ให้ไว้ # a + bi = Re ^ (itheta) # เรากำลังมองหาตัวเลขที่ซับซ้อนทั้งหมด # Z # ดังนั้น

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

เช่น # Z # เป็นจำนวนเชิงซ้อนมีอยู่ # R_0 # และ # theta_0 # ดังนั้น

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

แล้วก็

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

จากนี้เราได้ทันที # R_0 = R ^ (1/3) #. เราอาจเปรียบเสมือนตัวแทนของ # E #แต่สังเกตว่าไซน์และโคไซน์เป็นคาบด้วยคาบ # 2pi #จากตัวตนเดิม # อี ^ (itheta) # จะเป็นเช่นกัน ถ้าอย่างนั้นเราก็มี

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # ที่ไหน #k ใน ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # ที่ไหน #k ใน ZZ #

อย่างไรก็ตามราวกับว่าเรายังคงเพิ่ม # 2pi # ซ้ำแล้วซ้ำอีกเราจะจบลงด้วยค่าเดียวกันเราสามารถละเว้นค่าซ้ำซ้อนโดยการเพิ่มข้อ จำกัด # theta_0 ใน 0, 2pi) #, นั่นคือ, #k ใน {0, 1, 2} #

เมื่อรวมทั้งหมดเข้าด้วยกันเราจะได้ชุดการแก้ปัญหา

#z ใน {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) e ^ (i (theta + 4pi) / 3)} #

เราอาจแปลงกลับเป็น # A + สอง # แบบฟอร์มหากต้องการโดยใช้ตัวตน

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

การนำไปใช้ข้างต้นกับปัญหาในมือ:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

ใช้กระบวนการข้างต้นเราสามารถหา # 3 ^ "ถนน" # รากของ #ผม#:

#i = e ^ (ipi / 2) => i ^ (1/3) ใน {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

การประยุกต์ใช้ # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # เรามี

# i ^ (1/3) ใน {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

ในที่สุดเราแทนค่าเหล่านี้สำหรับ #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z ใน {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1} #

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #