ช่วงของ y = [(1-x) ^ (1/2)] / (2x ^ 2 + 3x + 1) คืออะไร?

ก่อนอื่นให้เราพิจารณาโดเมน:

สำหรับสิ่งที่มีค่าของ # x # ฟังก์ชั่นที่ถูกกำหนดหรือไม่

ตัวเศษ # (1-x) ^ (1/2) # ถูกกำหนดเมื่อ # (1-x)> = 0 #. เพิ่ม # x # ทั้งสองด้านนี้คุณพบ #x <= 1 #.

นอกจากนี้เรายังต้องการตัวส่วนให้ไม่ใช่ศูนย์

# 2x ^ 2 + 3x + 1 = (2x + 1) (x + 1) # เป็นศูนย์เมื่อ #x = -1 / 2 # และเมื่อ #x = -1 #.

ดังนั้นโดเมนของฟังก์ชันคือ

# {x ใน RR: x <= 1 และ x! = -1 และ x! = -1/2} #

กำหนด #f (x) = (1-x) ^ (1/2) / (2x ^ 2 + 3x + 1) # ในโดเมนนี้

ให้เราพิจารณาแต่ละช่วงเวลาต่อเนื่องในโดเมนแยกจากกัน:

ในแต่ละกรณีให้ #epsilon> 0 # เป็นจำนวนบวกเล็กน้อย

กรณี (a): #x <-1 #

สำหรับค่าลบขนาดใหญ่ของ # x #, # f (x) # มีขนาดเล็กและเป็นบวก

ในตอนท้ายของช่วงเวลานี้ถ้า #x = -1 - epsilon # แล้วก็

#f (x) = f (-1-epsilon) ~ = sqrt (2) / ((2 xx -1) +1) (- 1 - epsilon + 1)) #

# = sqrt (2) / epsilon -> + oo # เช่น #epsilon -> 0 #

ดังนั้นสำหรับ #x <-1 # ช่วงของ # f (x) # คือ # (0, + oo) #

กรณี (b): # -1 / 2 <x <= 1 #

#f (-1 / 2 + epsilon) ~ = sqrt (3/2) // ((2 (-1 / 2 + epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = sqrt (3/2) / epsilon -> + oo # เช่น #epsilon -> 0 #

#f (1) = 0/1 = 0 #

ดังนั้นสำหรับ # -1 / 2 <x <= 1 # ช่วงของ # f (x) # คือ # 0, + oo) #

กรณี (c): # -1 <x <-1 / 2 #

#f (-1 + epsilon) ~ = sqrt (2) / ((2xx-1) + 1) (- 1 + epsilon + 1)) # #

# = -sqrt (2) / epsilon -> -oo # เช่น #epsilon -> 0 #

#f (-1 / 2-epsilon) ~ = sqrt (3/2) / ((2 (-1 / 2-epsilon) + 1) (- 1/2 + 1) #

# = -sqrt (3/2) / epsilon -> -oo # เช่น #epsilon -> 0 #

ดังนั้นคำถามที่น่าสนใจคือค่าสูงสุดของอะไร # f (x) # ในช่วงเวลานี้ เพื่อหาคุณค่าของ # x # ซึ่งสิ่งนี้เกิดขึ้นมองหาอนุพันธ์ที่จะเป็นศูนย์

# D / (DX) f (x) #

# = (1/2 (1-x) ^ (- 1/2) xx-1) / (2x ^ 2 + 3x + 1) + ((1-x) ^ (1/2) xx-1xx (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ (- 2) xx (4x + 3)) #

# = (-1/2 (1-x) ^ (- 1/2)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

# = ((-1/2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1)) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3))) / (2x ^ 2 + 3x + 1) ^ 2 #

นี่จะเป็นศูนย์เมื่อตัวเศษเป็นศูนย์ดังนั้นเราจึงต้องการแก้ไข:

# -1 / 2 (1-x) ^ (- 1/2) (2x ^ 2 + 3x + 1) - ((1-x) ^ (1/2) (4x + 3)) = 0 #

คูณด้วย # 2 (1-x) ^ (1/2) # ที่จะได้รับ:

# - (2x ^ 2 + 3x + 1) -2 (1-x) (4x + 3) = 0 #

นั่นคือ:

# 6x ^ 2-5x-7 = 0 #

ซึ่งมีราก # (5 + -sqrt (25 + 4xx6xx7)) / 12 = (5 + -sqrt (194)) / 12 #

จากรากเหล่านี้ #x = (5-sqrt (194)) / 12 # ตกอยู่ในช่วงเวลาที่เกี่ยวข้อง

ทดแทนสิ่งนี้กลับเข้ามา # f (x) # เพื่อหาค่าสูงสุดของ #f (x) ในช่วงเวลานี้ (ประมาณ -10)

ดูเหมือนว่าจะซับซ้อนกว่าสำหรับฉัน ฉันมีข้อผิดพลาดหรือไม่?

ตอบ: ช่วงของฟังก์ชั่นคือ # (- oo, -10.58 uu 0, oo) #

สำหรับ #x ใน (-oo, -1) # #-># #y ใน (0, oo) #

สำหรับ #x ใน (-1, -0.5) # #-># #y ใน (-oo, -10.58 #

สำหรับ #x ใน (-0.5, 1 # #-># #y ใน 0, oo) #