มุมสองมุมของสามเหลี่ยมหน้าจั่วอยู่ที่ (8, 1) และ (1, 7) หากพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคือ 15 ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยมคือเท่าใด

ตอบ:

ความเป็นไปได้สองประการ: (I) #sqrt (85) sqrt (2165/68) sqrt (2165/68) ~ = 9.220,5.643,5.643 # หรือ (II) #sqrt (170-10sqrt (253)) sqrt (85) sqrt (85) ~ = 3.308,9.220,9.220 #

คำอธิบาย:

ความยาวของด้านที่กำหนดคือ

# s = sqrt ((1-8) ^ 2 + (7-1) ^ 2) = sqrt (49 + 36) = sqrt (85) ~ = 9.220 #

จากสูตรของพื้นที่สามเหลี่ยม:

S # = (b * เอช) / 2 # => # 15 = (sqrt (85) * เอช) / 2 # => # H = 30 / sqrt (85) ~ = 3.254 #

เนื่องจากรูปเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วเราจึงได้ กรณีที่ 1 ซึ่งฐานเป็นด้านเอกพจน์ซึ่งแสดงโดยรูปที่ (ก) ด้านล่าง

หรือเราสามารถมี กรณีที่ 2 ที่ฐานเป็นหนึ่งในด้านเท่ากันโดยมะเดื่อ (b) และ (c) ด้านล่าง

สำหรับปัญหานี้กรณีที่ 1 นำไปใช้เสมอเพราะ:

#tan (alpha / 2) = (ก / 2) / H # => # H = (1/2) A / สีน้ำตาล (อัลฟ่า / 2) #

แต่มีเงื่อนไขเพื่อให้กรณีที่ 2 ใช้งานได้:

#sin (เบต้า) = H / b # => # h = bsin เบต้า #

หรือ # h = bsin gamma #

เนื่องจากค่าสูงสุดของ #sin เบต้า # หรือ #sin gamma # คือ #1#มูลค่าสูงสุดของ # H #ในกรณีที่ 2 จะต้องเป็น # B #.

ในปัญหาปัจจุบัน h มีขนาดเล็กกว่าด้านที่มันตั้งฉากดังนั้นสำหรับปัญหานี้นอกเหนือจากกรณีที่ 1 ยังกรณีที่ 2 มีผลบังคับใช้

การแก้ปัญหาการพิจารณา กรณีที่ 1 (รูปที่ (a)) # A = sqrt (85) #

# ข ^ 2 = H ^ 2 + (A / 2) ^ 2 #

# ข ^ 2 = (30 / sqrt (85)) ^ 2 + (sqrt (85) / 2) ^ 2 #

# ข ^ 2 = 900/85 + 85/4 = 180/17 + 85/4 = (720 + 1445) / 68 = 2165/68 # => # B = sqrt (2165/68) ~ = 5.643 #

การแก้ปัญหาการพิจารณา กรณีที่ 2 (รูปร่างของรูปที่ (b)) # B = sqrt (85) #

# ข ^ 2 = m ^ 2 + H ^ 2 #

# ม ^ 2 = b ^ 2 ชั่วโมง ^ 2 = (sqrt (85)) ^ 2- (30 / sqrt (85)) ^ 2 = 85-900 / 85 = 85-180 / 17 = (1445-180) / 17 # => # m = sqrt (1265-1217) #

# m + n = b # => # n = b-M # => # n = sqrt (85) -sqrt (1265-1217) #

# a ^ 2 = H ^ 2 + n ^ 2 = (30 / sqrt (85)) ^ 2 + (sqrt (85) -sqrt (1265-1217)) ^ 2 #

# a ^ 2 = 900/85 + 85 + 1265 / 17-2sqrt ((85 * 1265) / 17) #

# a ^ 2 = 180/17 + 85 + 1265 / 17-2 * sqrt (5 * 1265) #

# a ^ 2 = 1445-1417 + 85-2 * 5sqrt (253) #

# a ^ 2 = 85 + 85-10sqrt (253) #

# A = sqrt (170-10sqrt (253)) ~ = 3.308 #