Z1 + z2 = z1 + z2 ถ้าหาก arg (z1) = arg (z2) โดยที่ z1 และ z2 เป็นจำนวนเชิงซ้อน อย่างไร กรุณาอธิบาย!

ตอบ:

กรุณาอ้างถึง การสนทนา ใน คำอธิบาย

คำอธิบาย:

ปล่อย, # | z_j | = r_j; r_j gt 0 และ arg (z_j) = theta_j ใน (-pi, pi; (j = 1,2). #

#:. z_j = r_j (costheta_j + isintheta_j), j = 1,2. #

เห็นได้ชัดว่า # (z_1 + z_2) = r_1 (costheta_1 + isintheta_1) + r_2 (costheta_2 + isintheta_2) #

# = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) + i (r_1sintheta_1 + r_2sintheta_2). #

จำได้ว่า, # z = x + iy rArr | z | ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2. #

#:. | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (r_1costheta_1 + r_2costheta_2) ^ 2 + (+ r_1sintheta_1 r_2sintheta_2) ^ 2 #

# = r_1 ^ 2 (cos ^ 2theta_1 + sin ^ 2theta_1) + r_2 ^ 2 (cos ^ 2theta_2 + sin ^ 2theta_2) + 2r_1r_2 (costheta_1costheta_2 + sintheta_1sintheta_2) #

# = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) #

#rArr | z_1 + z_2 | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) …. (ดาว ^ 1) #.

# "ระบุแล้วว่า" | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 |, #

#iff | (z_1 + z_2) | ^ 2 = (| z_1 | + | z_2 |) ^ 2 = | z_1 | ^ 2 + | z_2 | ^ 2 + 2 | z_1 || z_2 |, i.e., #.

# | (z_1 + z_2) | ^ 2 = r_1 ^ 2 + r_2 ^ 2 + 2r_1r_2 ……. (ดาว ^ 2) #

จาก # (star ^ 1) และ (star ^ 2) # เราได้รับ, # 2r_1r_2cos (theta_1-theta_2) = r_1r_2. #

# "กำลังยกเลิก" r_1r_2 gt 0, cos (theta_1-theta_2) = 1 = cos0

#:. (theta_1-theta_2) = 2kpi + -0, k ใน ZZ #

# "แต่" theta_1, theta_2 ใน (pi, pi, theta_1-theta_2 = 0, หรือ, #

# theta_1 = theta_2, "ให้," หาเรื่อง (z_1) = หาเรื่อง (z_2), # เช่น ที่ต้องการ!

ดังนั้นเราได้แสดงให้เห็นว่า

# | z_1 + z_2 | = | z_1 | + | z_2 | rArr arg (z_1) = arg (z_2). #

สนทนา สามารถพิสูจน์ได้ในบรรทัดที่คล้ายกัน

สนุกกับคณิตศาสตร์!