Antiderivative ของ (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) คืออะไร?

ตอบ:

คำตอบคือ # x + arctan (x) #

คำอธิบาย:

ทราบก่อนว่า: # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # สามารถเขียนเป็น # (1 + 1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 / (1 + x ^ 2) + (1 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) = 1 + 1 / (1 + x ^ 2) #

# => int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) DX = int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) DX = int 1 DX + int 1 / (1+ x ^ 2) DX = x + int 1 / (1 + x ^ 2) DX = #

อนุพันธ์ของ #arctan (x) # คือ # 1 / (1 + x ^ 2) #.

สิ่งนี้บ่งบอกว่าแอนติเดริเวทีฟของ # 1 / (1 + x ^ 2) # คือ #arctan (x) #

และเป็นพื้นฐานที่เราสามารถเขียน: #int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) DX = x + arctan (x) #

ดังนั้น

#int (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) dx == int 1 + 1 / (1 + x ^ 2) dx = x + arctan (x) + c #

ดังนั้นแอนติเดริเวทีฟของ # (2 + x ^ 2) / (1 + x ^ 2) # คือ #COLOR (สีฟ้า) (x + arctan (x)) #

# "NB:" #

อย่าสับสน # # ปฏิยานุพันธ์ กับ อินทิกรัลไม่ จำกัด

Antiderivative ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับค่าคงที่ ในความเป็นจริงการค้นหา antiderivative ไม่ได้หมายความว่า intergrate!