สามเหลี่ยมมีมุมที่ (4, 1), (2, 4) และ (0, 2) # จุดสิ้นสุดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของสามเหลี่ยมคืออะไร?

ตอบ:

จุดสิ้นสุดที่ง่ายคือจุดกึ่งกลาง #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# และสิ่งที่ยากกว่านั้นก็คือจุดที่เส้นแบ่งครึ่งพบกันอีกด้านรวมถึง #(8/3,4/3).#

คำอธิบาย:

โดยเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของสามเหลี่ยมเราน่าจะหมายถึงเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของแต่ละด้านของสามเหลี่ยม ดังนั้นมีเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากสำหรับสามเหลี่ยมทุกอัน

เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากแต่ละเส้นถูกกำหนดให้ตัดกันด้านเดียวที่จุดกึ่งกลาง มันจะตัดกันอีกด้านหนึ่ง เราจะสมมติว่าการพบกันสองอย่างนั้นเป็นจุดสิ้นสุด

จุดกึ่งกลางคือ

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

นี่อาจเป็นสถานที่ที่ดีในการเรียนรู้เกี่ยวกับการแทนค่าพารามิเตอร์สำหรับเส้นและส่วนของเส้น # เสื้อ # เป็นพารามิเตอร์ที่สามารถช่วงเหนือ reals (สำหรับบรรทัด) หรือจาก #0# ไปยัง #1# สำหรับส่วนของเส้น

มาติดป้ายคะแนนกัน รุ่น A (4,1) #, รุ่น B (2,4) # และ รุ่น C ประเภทสิทธิ (0,2) #. ทั้งสามด้านคือ:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

เช่น # เสื้อ # ไปจากศูนย์หนึ่งเราติดตามแต่ละด้าน

งั้นลองทำดู # D # เป็นจุดกึ่งกลางของ # BC #, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

ทิศทางเวกเตอร์จาก C ถึง B คือ # B-C = (2,2) #. สำหรับฉากตั้งฉากเราพลิกสองสัมประสิทธิ์ (ไม่มีผลตรงนี้เพราะมันทั้งคู่ #2#) และปฏิเสธอย่างใดอย่างหนึ่ง ดังนั้นสมการพาราเมทริกสำหรับตั้งฉาก

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(บรรทัดที่แตกต่างกันพารามิเตอร์ที่แตกต่างกัน) เราสามารถดูว่าสิ่งนี้ตรงกับแต่ละด้านหรือไม่

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # ตรวจสอบว่าเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากตรงกับ BC ที่จุดกึ่งกลาง

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

ลบ, # t = 2-3 = - 1 #

นั่นอยู่นอกช่วงเพื่อให้เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของ BC ไม่ชนด้าน AB

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

ลบ, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

ที่ให้ปลายทางอื่น ๆ เช่น

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

นี่ใช้เวลาไม่นานดังนั้นฉันจะปล่อยให้จุดปลายอีกสองจุดมาหาคุณ